1.Udowodnij,że symetrią środkową względem dowolnego punktu jest izometria oraz wyznacz punkty stałe tego przekształcenia
2.Czy istnieje taka liczba rzeczywista k, by przekształcenie P określone poniżej było izometrią? Jeśli tak, to podaj wszystkie takie liczby k.
\(\displaystyle{ P((x,y))=(-ky,x)}\)
symetria środkowa ,punkty stałe, izometria
-
Crizz
- Użytkownik
- Posty: 4094
- Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 805 razy
symetria środkowa ,punkty stałe, izometria
Dla dowolnego punktu \(\displaystyle{ K=(a,b)}\), niech \(\displaystyle{ S_{K}}\) będzie symetrią środkową względem punktu K.
Niech \(\displaystyle{ A=(x,y),A'=S_{K}(A)=(x',y')}\)
Wtedy
\(\displaystyle{ \vec{KA}=[x-a,y-b]}\)
\(\displaystyle{ -\vec{KA}=[a-x,b-y]}\)
\(\displaystyle{ -\vec{KA}=\vec{KA'}}\), zatem:
\(\displaystyle{ A'=[2a-x,2b-x]}\)
Weźmy teraz dowolne punkty \(\displaystyle{ A=(x_{A},y_{A}),B=(x_{B},y_{B})}\)
Wówczas
\(\displaystyle{ A'=(2a-x_{A},2b-y_{A}),B'=(2a-x_{B},2b-y_{B})}\)
\(\displaystyle{ |AB|=\sqrt{(x_{A}-x_{B})^{2}+(y_{A}-y_{B})^{2}}}\)
\(\displaystyle{ |A'B'|=\sqrt{(2a-x_{A}-2a+x_{B})^{2}+(2b-y_{B}-2b+y_{A})^{2}}=\sqrt{(x_{A}-x_{B})^{2}+(y_{A}-y_{B})^{2}}=|AB|}\)
Skoro przekształcenie zachowuje długości odcinków, to jest izometrią, c.n.u.
Punkty stałe \(\displaystyle{ P=(x,y)}\) tego przekształcenia spełniają zależność \(\displaystyle{ P=P'}\), skąd:
\(\displaystyle{ (x,y)=(2a-x,2a-y)}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=2a-x \\ y=2a-y \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=a \\ y=b \end{cases}}\)
Jedynym punktem stałym przekształcenia jest więc środek symetrii.
[ Dodano: 16 Grudnia 2008, 21:16 ]
2.) Weźmy teraz dowolne punkty \(\displaystyle{ A=(x_{A},y_{A}),B=(x_{B},y_{B})}\)
Wówczas
\(\displaystyle{ A'=(-ky_{A},x_{A}),B'=(-ky_{B},x_{B})}\)
\(\displaystyle{ |AB|=\sqrt{(x_{A}-x_{B})^{2}+(y_{A}-y_{B})^{2}}}\)
\(\displaystyle{ |A'B'|=\sqrt{k^{2}(y_{A}-y_{B})^{2}+(x_{A}-x_{B})^{2}}}\)
Żeby przekształcenie było izometrią, musi zachodzić:
\(\displaystyle{ |AB|=|A'B'|}\)
\(\displaystyle{ |A'B'|^{2}-|AB|^{2}=0}\)
\(\displaystyle{ (k^{2}-1)(y_{A}-y_{B})=0}\)
W szczególności więc dla \(\displaystyle{ y_{A} y_{B}}\) musi być:
\(\displaystyle{ k^{2}-1=0}\)
\(\displaystyle{ k= 1}\)
Niech \(\displaystyle{ A=(x,y),A'=S_{K}(A)=(x',y')}\)
Wtedy
\(\displaystyle{ \vec{KA}=[x-a,y-b]}\)
\(\displaystyle{ -\vec{KA}=[a-x,b-y]}\)
\(\displaystyle{ -\vec{KA}=\vec{KA'}}\), zatem:
\(\displaystyle{ A'=[2a-x,2b-x]}\)
Weźmy teraz dowolne punkty \(\displaystyle{ A=(x_{A},y_{A}),B=(x_{B},y_{B})}\)
Wówczas
\(\displaystyle{ A'=(2a-x_{A},2b-y_{A}),B'=(2a-x_{B},2b-y_{B})}\)
\(\displaystyle{ |AB|=\sqrt{(x_{A}-x_{B})^{2}+(y_{A}-y_{B})^{2}}}\)
\(\displaystyle{ |A'B'|=\sqrt{(2a-x_{A}-2a+x_{B})^{2}+(2b-y_{B}-2b+y_{A})^{2}}=\sqrt{(x_{A}-x_{B})^{2}+(y_{A}-y_{B})^{2}}=|AB|}\)
Skoro przekształcenie zachowuje długości odcinków, to jest izometrią, c.n.u.
Punkty stałe \(\displaystyle{ P=(x,y)}\) tego przekształcenia spełniają zależność \(\displaystyle{ P=P'}\), skąd:
\(\displaystyle{ (x,y)=(2a-x,2a-y)}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=2a-x \\ y=2a-y \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=a \\ y=b \end{cases}}\)
Jedynym punktem stałym przekształcenia jest więc środek symetrii.
[ Dodano: 16 Grudnia 2008, 21:16 ]
2.) Weźmy teraz dowolne punkty \(\displaystyle{ A=(x_{A},y_{A}),B=(x_{B},y_{B})}\)
Wówczas
\(\displaystyle{ A'=(-ky_{A},x_{A}),B'=(-ky_{B},x_{B})}\)
\(\displaystyle{ |AB|=\sqrt{(x_{A}-x_{B})^{2}+(y_{A}-y_{B})^{2}}}\)
\(\displaystyle{ |A'B'|=\sqrt{k^{2}(y_{A}-y_{B})^{2}+(x_{A}-x_{B})^{2}}}\)
Żeby przekształcenie było izometrią, musi zachodzić:
\(\displaystyle{ |AB|=|A'B'|}\)
\(\displaystyle{ |A'B'|^{2}-|AB|^{2}=0}\)
\(\displaystyle{ (k^{2}-1)(y_{A}-y_{B})=0}\)
W szczególności więc dla \(\displaystyle{ y_{A} y_{B}}\) musi być:
\(\displaystyle{ k^{2}-1=0}\)
\(\displaystyle{ k= 1}\)