Parametr + okręgi

Obiekty i przekształcenia geometryczne, opisane za pomocą układu (nie zawsze prostokątnego) współrzędnych.
borubar
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 101
Rejestracja: 7 sie 2008, o 17:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 46 razy

Parametr + okręgi

Post autor: borubar »

Witam, zakładam nowy wątek ponieważ nie mogę poradzić sobie z kilkoma zadaniami. Myślę że wspoółnymi siłami jakoś je rozwiążemy. Zadania mogą wydawać sie łatwe, jednak nie dla mnie

Zadanie 1

Dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ m(m R)}\) okręgi opisane równaniami:

\(\displaystyle{ o1: (x-m)^2+(y-2m)^2=1}\) oraz \(\displaystyle{ o2:(x-2)^2+(y+1)^2=16}\) są wzajemnie zewnętrzne.

Zadanie 2

Dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ m(m R)}\) okręgi opisane równaniami:

\(\displaystyle{ o1:(x-m)^2+(y+1)^2=8}\) oraz \(\displaystyle{ o2: (x+1)^2+(y-m)^2=2}\) są zewnętrznie styczne? Dla znalezionych wartości parametru wykonaj rysunek. Oblicz wspołrzędne punktu styczności.

Tu chodzi mi tylko o współrzędne, z rysunkiem chyba sobie poradzę.
anna_
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16323
Rejestracja: 26 lis 2008, o 20:14
Płeć: Kobieta
Podziękował: 35 razy
Pomógł: 3245 razy

Parametr + okręgi

Post autor: anna_ »

Zadanie 1

\(\displaystyle{ o1: (x-m)^2+(y-2m)^2=1}\)
A(m;2m) - współrzędne środka okręgu
r=1
\(\displaystyle{ o2:(x-2)^2+(y+1)^2=16}\)
B(2,-1)-współrzędne środka okręgu
r=4

Żeby okręgi były styczne zewnętrznie długość odcinka łaczącego środki okręgów musi być równa sumie promieni
|AB|=1+4
Ostatnio zmieniony 8 gru 2008, o 21:50 przez anna_, łącznie zmieniany 1 raz.
borubar
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 101
Rejestracja: 7 sie 2008, o 17:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 46 razy

Parametr + okręgi

Post autor: borubar »

Przepraszam, znow za brak kompetencji. Ale co to ma związanego z paramtrem ?

Do tego co napisałas już doszedłem
anna_
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16323
Rejestracja: 26 lis 2008, o 20:14
Płeć: Kobieta
Podziękował: 35 razy
Pomógł: 3245 razy

Parametr + okręgi

Post autor: anna_ »

Wyznacz sobie |AB| to będzie i parametr
Awatar użytkownika
marcinn12
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 882
Rejestracja: 23 sty 2007, o 15:06
Płeć: Kobieta
Podziękował: 61 razy
Pomógł: 193 razy

Parametr + okręgi

Post autor: marcinn12 »

Więc co do zadania 1.
\(\displaystyle{ S _{1} (m,2m)}\) \(\displaystyle{ r _{1} =1}\)
\(\displaystyle{ S _{2} (2,-1)}\) \(\displaystyle{ r _{2} =4}\)
\(\displaystyle{ |S _{1} S _{2} |> r _{1}+r _{2}}\)

Odległość między środkami ze wzoru:
\(\displaystyle{ |S _{1} S _{2} |= \sqrt{(2-m) ^{2}+(-1-2m) ^{2} }}\)
\(\displaystyle{ |S _{1} S _{2} |= \sqrt{5m ^{2} +5}}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{5m ^{2} +5} > 5}\) (wiesz ze wartość pod pierwiastkiem jest zawsze dodatnia bo \(\displaystyle{ \bigwedge\limits_{x\in R} 5m ^{2} +5>0}\), więc podnoszisz do kwadratu.

\(\displaystyle{ 5m ^{2} +5>25}\)
\(\displaystyle{ 5m ^{2} >20}\)
\(\displaystyle{ m ^{2} >4}\)
\(\displaystyle{ m>2}\) lub \(\displaystyle{ m (-\infty,-2)U(2,\infty)}\)


To samo w drugim tylko tam okręgi są stycznie zewnętrznie stycznie, czyli zachodzi warunek:
\(\displaystyle{ |S _{1} S _{2} |= r _{1}+r _{2}}\)

Punktu styczności to będa punkty gdzie odległość między ich środkami jest równa sumie długości ich promieni. Jęsli chcesz wyznaczyć dokładne współrzędne takiego punktu musisz stworzyć dwa równania okręgu i wyznaczyć część wspólną.

[ Dodano: 8 Grudnia 2008, 22:33 ]
Zad 2

\(\displaystyle{ S _{1} (m,-1)}\) \(\displaystyle{ r=2 \sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ S _{2} (-1,m)}\) \(\displaystyle{ r= \sqrt{2}}\)

\(\displaystyle{ |S _{1} S _{2}| =r _{1} +r _{2}}\)
\(\displaystyle{ |S _{1} S _{2}|= \sqrt{(-1-m) ^{2} +(m-1) ^{2} }}\)
\(\displaystyle{ |S _{1} S _{2}|= \sqrt{2m ^{2}-4m+2 }}\) - wzór skróconego mnożenia.
\(\displaystyle{ |S _{1} S _{2}|= \sqrt{( \sqrt{2}m- \sqrt{2} )^{2} }}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{a ^{2} } =|a|}\)

Z tego wynika że:

\(\displaystyle{ |\sqrt{2}m- \sqrt{2}| = 3 \sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{2}m- \sqrt{2} = 3 \sqrt{2}}\) \(\displaystyle{ \vee}\) \(\displaystyle{ \sqrt{2}m- \sqrt{2} = -3 \sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ m=4}\) \(\displaystyle{ \vee}\) \(\displaystyle{ m=-2}\)


Dalej chyba pójdzie?
Ostatnio zmieniony 8 gru 2008, o 22:40 przez marcinn12, łącznie zmieniany 2 razy.
borubar
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 101
Rejestracja: 7 sie 2008, o 17:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 46 razy

Parametr + okręgi

Post autor: borubar »

No właśnie nie bardzo. Znaczy sam dochodzę do tego że dla \(\displaystyle{ m (2,-4)}\) są stycznie zewnętrznie...dalej pustka
Awatar użytkownika
marcinn12
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 882
Rejestracja: 23 sty 2007, o 15:06
Płeć: Kobieta
Podziękował: 61 razy
Pomógł: 193 razy

Parametr + okręgi

Post autor: marcinn12 »

borubar sory za bład, już wyżej poprawiłem bo był wzór na kwadrat róznicy a nie sumy.
Twoje rozważania są złe bo to nie moze być przedział, okręgi są styczne tylko w jednym punkcie.

Żeby znaleźć punkt styczności musisz:

Utworzyć takie układy równan:

\(\displaystyle{ \begin{cases} (x-4) ^{2} +(y+1) ^{2} =8 \\ (x+1) ^{2} +(y-4) ^{2} =2\end{cases}}\)

Lub

\(\displaystyle{ \begin{cases} (x+2) ^{2} +(y+1) ^{2} =8 \\ (x+1) ^{2} +(y+2) ^{2} =2\end{cases}}\)

I je rozwiązać.
Zbyszek223
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1
Rejestracja: 27 paź 2010, o 18:37
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

Parametr + okręgi

Post autor: Zbyszek223 »

Sorki za refresh tematu, ale...
Czy mógłby ktoś rozwiązać powyższe równania? A najlepiej pokazać krok po kroku, jak je rozwiązywaliście (bo za nic nie mogę dojść do rozwiązania, zawsze zeruje mi się wszystko...)
Z góry dziękuję.
patryk6
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 46
Rejestracja: 4 maja 2012, o 19:37
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 16 razy

Parametr + okręgi

Post autor: patryk6 »

marcinn12,

mpgę prosić o pomoc?

Dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ m \ (m \in \RR)}\) okręgi opisane równaniami:
\(\displaystyle{ o_{1}:(x+1) ^{2} + (y-m) ^{2} = 4\\
o_{2}:(x+m) ^{2} + (y-2) ^{2} = 1}\)

mają dokładnie jeden pkt wspólny.

296920.htm
Ostatnio zmieniony 23 lis 2015, o 00:07 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Szatansky07
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1
Rejestracja: 20 maja 2014, o 19:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rabka

Parametr + okręgi

Post autor: Szatansky07 »

Przepraszam za odkop ale znalazłem mały błąd, który trochę wypacza zadanie:

Zad 2

\(\displaystyle{ S _{1} (m,-1)}\) \(\displaystyle{ r=2 \sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ S _{2} (-1,m)}\) \(\displaystyle{ r= \sqrt{2}}\)

\(\displaystyle{ |S _{1} S _{2}| =r _{1} +r _{2}}\)
\(\displaystyle{ |S _{1} S _{2}|= \sqrt{(-1-m) ^{2} +(m-1) ^{2} }}\)
\(\displaystyle{ |S _{1} S _{2}|= \sqrt{2m ^{2}+4m+2 }}\) - wzór skróconego mnożenia.
\(\displaystyle{ |S _{1} S _{2}|= \sqrt{( \sqrt{2}m+ \sqrt{2} )^{2} }}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{a ^{2} } =|a|}\)

Z tego wynika że:

\(\displaystyle{ |\sqrt{2}m+ \sqrt{2}| = 3 \sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{2}m+ \sqrt{2} = 3 \sqrt{2}}\) \(\displaystyle{ \vee}\) \(\displaystyle{ \sqrt{2}m+ \sqrt{2} = -3 \sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ m=-4}\) \(\displaystyle{ \vee}\) \(\displaystyle{ m=2}\)
Dziękuje tylko tyle
P.S.
Jakby ktoś nie czaił to \(\displaystyle{ (-m-1) ^{2}}\) to to samo co \(\displaystyle{ (m+1) ^{2}}\)
lolio
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1
Rejestracja: 22 lis 2015, o 21:41
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: XXXX

Parametr + okręgi

Post autor: lolio »

refresh
Szatansky07 pisze:Przepraszam za odkop ale znalazłem mały błąd, który trochę wypacza zadanie:

\(\displaystyle{ |S _{1} S _{2}|= \sqrt{(-1-m) ^{2} +(m-1) ^{2} }}\)
Dlaczego w drugim nawiasie jest \(\displaystyle{ (m-1)}\)? Ze współrzędnych punktów wynika, że w pierwszym nawiasie powinno być \(\displaystyle{ -m-1}\) a w drugim \(\displaystyle{ m-(-1)}\) czyli \(\displaystyle{ m+1}\), mylę się?
Ostatnio zmieniony 23 lis 2015, o 00:06 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Kartezjusz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7330
Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 961 razy

Parametr + okręgi

Post autor: Kartezjusz »

Tak
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22171
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Parametr + okręgi

Post autor: a4karo »

Kartezjusz pisze:Tak
A odpowiedź "Tak" oznacza "Tak, mylisz się?", czy "Tak, masz rację"?
Kartezjusz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7330
Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 961 razy

Parametr + okręgi

Post autor: Kartezjusz »

Tak, masz rację, że zaszła pomyłka.
ODPOWIEDZ