Zbiór wszystkich środków okręgów

[borubar]

Witam! Lakonicznie: mam problemm z zadaniem z pracy domowej ponieważ w ogóle nie wiem o co w nim chodzi.

Jeżeli ktoś byłby tak miły i wytłumaczył łopatologicznie o co chodzi i jak to rozwiązać byłbym wdzięczny.

Treść zadania

Znajdź zbiór wszystkich środków okręgów zewnętrznie stycznych do okręgu o równaniu \(\displaystyle{ x^2+y^2=4}\) i jednocześnie stycznych do prostej o równananiu \(\displaystyle{ y=-2}\).

Proszę jednak o dogłębne wytłumaczenie tego zadania, ponieważ moja asbencja na ostatnich lekcjach nie pozwala mi na zrozumienie wszystkich pojęc z tego działu

Pozdrawiam borubar

[Crizz]

Niech \(\displaystyle{ l:y=-2, O=(0,0)}\)
Rozważmy najpierw środki okręgów położonych powyżej prostej l. Punkt \(\displaystyle{ F=(x_{f},y_{f})}\) jako środek okręgu o promieniu r, należy do rozważanego zbioru, o ile odległość od punktu O, czyli środka okręgu \(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}=4}\) jest równa r+2 (warunek styczności dwóch okręgów), a odległość od prostej l wynosi r.

Wynika stąd układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} d(F,l)=r \\ d(F,O)=r+2 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} y_{f}+2=r \\ \sqrt{x_{f}^{2}+y_{f}^{2}}=r+2 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{x_{f}^{2}+y_{f}^{2}}=y_{f}+4}\)
\(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}=(y+4)^{2}}\)
\(\displaystyle{ y=\frac{x^{2}-16}{8}}\)

Okregi położone poniżej prostej l są styczne i do niej, i do danego okręgu tylko, jesli ich środki leżą na prostej \(\displaystyle{ x=0}\)

Ostatecznie, szukany zbiór to zbiór punktów sumy mnogościowej prostej \(\displaystyle{ x=0}\) i paraboli \(\displaystyle{ y=\frac{x^{2}-16}{8}}\). Jako jedno równanie można to zapisać w postaci: \(\displaystyle{ (x^{2}-8y-16)x=0}\), czyli:
\(\displaystyle{ x^{3}-8xy-16x=0}\).

[borubar]

Proszę wybaczyć moją niekompetencję, ale w wynikach widnieje odpowiedź o nastepującej treści

Szukanym zbiorem punktów jest figura będąca sumą paraboli o równaniu \(\displaystyle{ \frac{1}{8}x^2-2}\) bez punktu o współrzędnych \(\displaystyle{ (0,-2)}\) i c zęści osi OY, do której należą punkty o rzędnej \(\displaystyle{ y}\)

[Crizz]

Yyy fakt, nie cąła prosta \(\displaystyle{ x=0}\) należy do rozwiązania.

[ Dodano: 9 Grudnia 2008, 08:23 ]
Ciężko to inaczej wytłumaczyć. Musisz rozważyć dodowlny okręag styczny do obu figur i zapisać warunki, jakie musi spełniać jego środek.

Jeśli okrąg o promieniu długości a ma być styczny do prostej y=3, to jasne jest, że odległość środka okręgu od tej prostej musi być równa promieniowi, czyli \(\displaystyle{ y_{f}=3-a}\).

Żeby stwierdzić, jaki warunek musi dodatkowo być spełniony, żeby okrąg był styczny do okręgu \(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}=9}\), musimy skorzystać z własności okręgów stycznych zewnętrznie: dwa okręgi są styczne zewnętrznie, jeśli odległość ich środków jest równa sumie ich promieni. Stąd mamy drugi warunek: \(\displaystyle{ \sqrt{x_{f}^{2}+y_{f}^{2}}=a+3}\).

Przekształcasz te dwa warunki tak, zeby dostać jedno równanie. W ten sposób uwzględniasz tylko te środki okręgów, które leżą poniżej prostej \(\displaystyle{ y=3}\), zauważ, że jeśli środek okręgu będzie leżał na osi OY powyżej tej prostej, to wystarczy, żeby przechodził przez punkt \(\displaystyle{ (0,3)}\) (w którym spotykają się prosta i okrąg \(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}=9}\)). Jeśli środek okręgu nie będzie leżał na osi OY, to nie może być jednocześnie styczny do danego okręgu i do danej prostej. Zatem do rozwiązania musisz dołożyć półprostą:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=0 \\ y>3 \end{cases}}\).

Trzeba jeszcze wyłączyć z rozwiązania punkt \(\displaystyle{ (3,0)}\), bo okrąg styczny do danego okręgu i danej prostej, o środku w tym punkcie miałby zerowy promień (byłby punktem).