Równania prostych stycznych do okręgu.

Pedersen · Post autor: **Pedersen** » 1 gru 2008, o 19:52

Dane są równania dwóch okręgów: \(\displaystyle{ (x-3)^2 + y^2 = 9}\) i \(\displaystyle{ (x+5)^2+ y^2 = 25}\)Znajdź równania prostych stycznych do obu tych okręgów.

[ Dodano: 1 Grudnia 2008, 21:24 ]

[ Dodano: 1 Grudnia 2008, 21:25 ]
Otot rozwiazanie
\(\displaystyle{ y=\frac{ \sqrt{15} }{15}x- \sqrt{15}}\)
\(\displaystyle{ y=-\frac{ \sqrt{15} }{15}x+ \sqrt{15}}\)

"trudne" to pojęcie względne.... nie stosuj słów tego typu w temacie.
Justka.

JankoS · Post autor: **JankoS** » 1 gru 2008, o 23:45

Z warunków zadania jedna ze stycznych ma równanie x = 0. Pozostałe dwie znajdujemy z układu \(\displaystyle{ (x-3)^2 + y^2 = 9}\) i \(\displaystyle{ (x+5)^2+ y^2 = 25}\) i \(\displaystyle{ y=ax+b.}\)
Szukamy a (b) dla, których układ ma jedno rozwiązanie.

Pedersen · Post autor: **Pedersen** » 2 gru 2008, o 17:36

JankoS pisze:Z warunków zadania jedna ze stycznych ma równanie x = 0. Pozostałe dwie znajdujemy z układu \(\displaystyle{ (x-3)^2 + y^2 = 9}\) i \(\displaystyle{ (x+5)^2+ y^2 = 25}\) i \(\displaystyle{ y=ax+b.}\)
Szukamy a (b) dla, których układ ma jedno rozwiązanie.

ZLE!!!!

JankoS · Post autor: **JankoS** » 2 gru 2008, o 20:48

Pedersen pisze:ZLE!!!!

Konkretnie co źle? Próbował Kolega to rozwiązać?
Według mnie zadanie nie jest trudne. Z układu wyznacza się warunki dla a oraz b, przy spełnienie których ma on jedno rozwiazanie.
Wychodzą dwie proste o równaniach podanych w pierwszym poście.
Ponadto należy rozwazyć przypadek stycznych o postaci x = k. Wychodzi jedna styczna.

marcinn12 · Post autor: **marcinn12** » 3 gru 2008, o 13:29

JankoS to jest trudne wyznaczyć tak jak mówisz. Moze po prostu lepiej obliczyć punkt przeciecia tej prostej z osią x z podobeństwa trójkątów. (jak się narysuje rysunek jest wszystko jasne) a dopiero poźniej wyznaczyć współczynnik kierunkowy a który jest równy tangensowi kąta. A reszta jakos pojdzie. Dla Ciebie zadanie proste ale mi się wydaje, że jak na analityczną jest dosyć zawiłe i trudne, bynajmniej dla mnie

[ Dodano: 3 Grudnia 2008, 15:16 ]

Póki forum nie muli to:
Robisz tai trikas, że liczysz długość odcinka BX z podobieństwa.

\(\displaystyle{ \frac{|FB|}{|BX|} = \frac{|EA|}{|AB|+|BX|}}\)
Po przekształceniach otzrymujesz że |BX|=12
Czyli z tego wynika że punkt x ma współrzedne: X=(12+3,0).

Teraz liczysz sinus kąta trójkąta FXB, następnie z jedynki trygnometrycznej cosinus i otrzymujesz:

\(\displaystyle{ sin = \frac{3}{12}}\) i \(\displaystyle{ cos =- \frac{3 \sqrt{15} }{12}}\) (- bo to II ćw)

\(\displaystyle{ tg =a}\), mając a i wiedząc, ze X ma współrzędne (15,0) mozesz obliczyć b, które jest równe \(\displaystyle{ \sqrt{15}}\).

Mamy szukany wzór:
\(\displaystyle{ y _{1} = \frac{ \sqrt{15} }{15} - \sqrt{15}}\)

Drugi wzór to po prostu F(x)=-g(x).

Pedersen · Post autor: **Pedersen** » 3 gru 2008, o 16:20

Dzięki marcin jetses WIELKI

JankoS · Post autor: **JankoS** » 5 gru 2008, o 19:26

Wbrew obawom Kolegi marcinn12 zadanie nie jest trudne. Znalazło się w dziale geometrii analitycznej i tak je rozwiążę.
Styczne mogą być postaci y = ax + b lub x = k. Szukam tych pierwszych. Podstawiam to y do równania okręgu o promieniu 3. Po wykonaniu działań i uprządkowaniu dostaję
\(\displaystyle{ (1+a^2)x^2-(6-2ab)x+b^2=0.}\)
Prosta ma być styczna z tym okręgiem, więc otrzymane równanie ma mieć jedno rozwiązanie, co jest równoważne temu, że
\(\displaystyle{ (*) \ \Delta=36-24ab+4a^2b^2-4b^2-4a^2b^2=0 9-6ab-b^2=0}\)
Analogicznie po podstawieniu do równania drugiego okręgu
\(\displaystyle{ (1+a^2)x^2+(10+2ab)x+b^2=0.}\)
\(\displaystyle{ (**) \Delta=...=4(25+10ab-b^2)=0 25+10ab-b^2=0.}\)
Prosta ma być styczna do obdwóch okręgów więc warunki (*), (**) muszą być spełnione jednocześnie. Po rozwiązanie układu (*), (**) dostaję dwie pary rozwiązań: \(\displaystyle{ (-\frac{1}{ \sqrt{15}}, \ \sqrt{15}), \ ( \frac{1}{ \sqrt{15}}, \ -\sqrt{15}) .}\)
Szukam stycznych postaci x = k.
\(\displaystyle{ (k-3)^2+y^2-9=(k+5)62+b^2-25 x=0.}\)
Są trzy różne styczne.

Najłatwiej jest napisać "ZLE!!!!"