obwod prostokata

[justyska70]

Obwód prostokąta P jest równy 80. Budujemy kwadrat K o boku dł. przekątnej prostokąta P. Dla jakich dł. boków prostokąta P kwadrat K na najmniejsze pole?

[Wicio]

\(\displaystyle{ 2a+2b=80}\)
\(\displaystyle{ a+b=40}\)
\(\displaystyle{ b=40-a}\)


Przekątną prostokąta oznaczmy c , mamy:

\(\displaystyle{ a^{2}+b^{2}=c^{2}}\)


Więc pole kwadratu to
\(\displaystyle{ P=c c=c^{2}=a^{2}+b^{2}=a^{2}+(40-a)^{2}}\)
\(\displaystyle{ P=a^{2}+(40-a)^{2}}\)
\(\displaystyle{ P=2a^{2}-80a+1600}\)
\(\displaystyle{ P=a^{2}-40a+800}\)

Współczynnik kierunkowy równa się 1 , więc parabola jest skierowana ramionami do góry. Najmniejsza wartośc jest dla p

\(\displaystyle{ p= \frac{40}{2}=20}\)

Czyli
\(\displaystyle{ a=20}\)
\(\displaystyle{ b=40-a=40-20=20}\)

[thralll]

Najpierw proponuje ułożyć układ równań z którego będzie można uzależnić pole od długości jednego boku prostokąta:
a,b-długości boków prostokąta c -przekątna prostokąta i jednocześnie bok kwadratu
\(\displaystyle{ a,b (0,40)\\
\begin{cases} 2a+2b=80 \\
c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\\
P_{kw}=c^{2} \end{cases}}\)
Po wyciągnięciu a z pierwszego równania podstawieniu do drugiego i podstawieniu drugiego do 3 otrzymujemy:
\(\displaystyle{ P_{kw}=1600-80b+2b^{2}}\)
Widać podobieństwo wyprowadzonego wzoru do funkcji kwadratowej, więc możemy zapisać
\(\displaystyle{ P(b)=2b^{2}-80b+1600}\)
Ponieważ wykresem funkcji jest parabola o ramionach skierowanych do góry (mówi o tym współczynnik przy najwyższej potędze) to minimum funkcji znajduje się w wierzchołku paraboli.
\(\displaystyle{ X_{wierzcholka}=\frac{-b}{2a}\ \ \ dla \ \ \ y=ax^{2}+bx+c \\
X_{wierzcholka}=\frac{80}{4}=20 D}\)
Oznacza to, że najmniejsze pole kwadratu uzyskamy gdy a=b=20[cm]
pozdrawiam
thralll

[ Dodano: 22 Listopada 2008, 16:04 ]
Ciut się spóźniłem