Oblicz sumę pól figur symetrycznych

[kiero]

Dana jest figura

\(\displaystyle{ F_{1}=\{(x,y) : x R y R x^{2}+y^{2}+4x-6y+5 qslant 0\}}\)

Figura \(\displaystyle{ F_{2}}\) jest obrazem figury \(\displaystyle{ F_{1}}\) w symetrii względem osi \(\displaystyle{ OY}\). Oblicz pole figury \(\displaystyle{ F=F_{1} \cap F_{2}}\)

Prosiłbym o jakąś pomoc.

[esiu]

Dana figura to kolo o środku w punkcie \(\displaystyle{ O=(-2;3)}\) i promieniu \(\displaystyle{ r=2\sqrt{2}}\). Rysując sobie to koło w układzie współrzędnych widzimy, że przecina ono oś \(\displaystyle{ OY}\) w punktach A i B, i zawiera się w I i II ćwiartce, a więc figura \(\displaystyle{ F_{2}}\) także będzie się zawierać w tych ćwiartkach wobec symetrii względem osi \(\displaystyle{ OY}\). Pole figury \(\displaystyle{ F}\) jet częścią wspólną tych figur, a więc jest podwojonym polem odcinka koła \(\displaystyle{ OAB}\). Wzór na pole odcinka koła \(\displaystyle{ S=(\alpha/360)\pi r^{2}-r^{2}sin /2}\), gdzie \(\displaystyle{ \alpha}\) to kąt \(\displaystyle{ \angle AOB}\). Kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) wyliczamy ze wzoru \(\displaystyle{ cos (\alpha/2)=x/r}\), gdzie \(\displaystyle{ x}\) to odległość środka okręgu od osi \(\displaystyle{ OY}\), a \(\displaystyle{ r}\) to odległość odcinka \(\displaystyle{ OA}\) (lub \(\displaystyle{ OB}\)). Podstawiając do wzoru na pole odcinka i podwajając je (część wspólna) otrzymujemy rozwiązanie \(\displaystyle{ Pole=4\pi -8}\).