Wykaż że zbiorem punktów jest parabola

[prs613]

Wykaż, że zbiorem punktów równoodległych od prostej y = 5 i punktu O(0,0) jest parabola o równaniu \(\displaystyle{ y=-\frac{1}{10}x^{2}+2\frac{1}{2}}\).

[wb]

Niech (x;y) będzie dowolnym punktem spełniajacym warunki zadania.

Odległość od prostej y=5 (y-5=0):
\(\displaystyle{ \frac{|0 x+1 y-5|}{\sqrt{0^2+1^2}}=|y-5|}\)

Odledłość od punktu (0;0):
\(\displaystyle{ \sqrt{(x-0)^2+(y-0)^2}=\sqrt{x^2+y^2}}\)

Zatem:
\(\displaystyle{ |y-5|=\sqrt{x^2+y^2} \ \ \ /()^2 \\ y^2-10y+25=x^2+y^2 \\ y=- \frac{1}{10}x^2+2,5}\)