odleglosc prostej od krzywej

[Jacek_fizyk]

Hej! czy ktos moze mi pomoc z rozwiazaniem nastepujacego zadania: Oblicz najkrotsza odleglosc miedzy krzywa y = 2x^2 + x + 9 a linja : y = 4x -7. Z gory dzieki

[JankoS]

Hej! czy ktos moze mi pomoc z rozwiazaniem nastepujacego zadania: Oblicz najkrotsza odleglosc miedzy krzywa y = 2x^2 + x + 9 a linja : y = 4x -7. Z gory dzieki

Rownoległa do danej prostej ma równanie y = 4x+b.Prosta ta jest styczna do paraboli w punkcie, którego odcięta jest jedynym rozwiązaniem równania.
\(\displaystyle{ 2x^2+x+9=4x+b.}\)
Z warunku \(\displaystyle{ \Delta=0}\) wyznaczamy b, a następnie współrzędne punktu \(\displaystyle{ (x_o, \ y_o)}\)styczności.
Dodane.
\(\displaystyle{ 2x^2+x+9=4x+b 2x^2-3x+9-b=0, \ \Delta=9-8(9-b)=0 b=\frac{63}{8} \\ x_0=\frac{-(-3)}{4}, \ y_0=0 .}\)
I teraz mam do wyboru: liczyć odległość punktu \(\displaystyle{ (\frac{3}{4}, \ 0)}\) od prostej 4x - y - 7 = 0 lub odległość między prostymi y = 4x - 7 i y = 4x -63/8.
Wybiorę to pierwsze.
\(\displaystyle{ d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{ \sqrt{A^2+B^2}}}\)
\(\displaystyle{ y=4x-7 4x-y-7=Ax+By+C=0.}\)
\(\displaystyle{ d=\frac{|\frac{3}{4} 4+0 (-1)-7|}{ \sqrt{4^2+(-1)^2}}=\frac{4}{ \sqrt{17}}=...}\)

[Jacek_fizyk]

Po pierwsze dziekuje za odpowiedz. Tam we wzorze na rownanie kwadratowe jest 2x^2
Przyznam sie ze nie bardzo rozumiem. Mam wyznaczyc pierwiastki rownania? a co z rownaniem prostej z b? Jesli jest mozliwe prosze o rozwiniecie rozwiazania....
Z gory dzieki

[JankoS]

Proszę bardzo.

[Jacek_fizyk]

Rzeczywiscie ladne i logiczne rozwiazanie. Dzieki jeszcze raz i pozdrawiam