bardzo prosze o pomoc! bo umieram przy tych zadaniach;/
Zadanie 1
a,) napisz równanie wspólnej osi symetrii okręgów o równaniach o1: x^2+y^2*2x+4y+1=0 oraz o2: x^2 + y2 +2x -4y-4=0
b.) napisz równania stycznych do okręgu o1 i nachylonych do osi OX pod kątem =135
zadanie 2
a.)napisz równanie okręgu o promieniu 4, współśrodkowego z okręgiem o1: x^2+y^2+2x-6y+9=0
b.)oblicz pole pierścienia kołowego wyznaczonego okręgami o1 i o2.
zadanie 3
a.)napisz równanie okręgu, symetrycznego do okręgu o1: x^2+y^2+6x-2y-15=0 wzgledem prostej k: x-3y-4=0
b.) oblicz pole trójkata, którego wierzchołkami są środki tych okręgów i poczatek układu współrzędnych.
okrag i koło w układzie współrzędnych
-
lukasz1804
- Użytkownik
- Posty: 4438
- Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1313 razy
okrag i koło w układzie współrzędnych
Zadanie 1.
a) Szukaną prostą jest prosta przechodząca przez środki danych okręgów, tj przez punkty (-1,-2) i (-1,2), czyli x=-1.
b) Zapiszmy rónanie okręgu \(\displaystyle{ O_1}\) w postaci jawnej: \(\displaystyle{ (x+1)^2+(y+2)^2=4}\). Ponieważ styczna ma być nachylona pod kątem \(\displaystyle{ \alpha=135^{o}}\) do osi OX, to jej współczynnik kierunkowy wynosi \(\displaystyle{ a=\tg\alpha=\tg 135^{o}=\tg(180^{o}-45^{o})=-\tg 45^{o}=-1}\). Zatem równanie tej stycznej jest postaci \(\displaystyle{ y=-x+b}\) dla pewnej liczby \(\displaystyle{ b\in\mathbb{R}}\).
Zauważmy, że styczna do okręgu musi mieć z nim dokładnie jeden punkt wspólny i rozważmy układ równań
Reasumując, otrzymujemy dwie styczne do okręgu o równaniach \(\displaystyle{ y=-x-3-\sqrt{10}}\) oraz \(\displaystyle{ y=-x-3+\sqrt{10}}\).
Zadanie 2.
a) Okrąg \(\displaystyle{ O_1}\) ma równanie jawne postaci \(\displaystyle{ (x+1)^2+(y-3)^2=1}\), więc jego środek znajduje się w punkcie (-1,3). W konsekwencji szukany tutaj okrąg ma równanie \(\displaystyle{ (x+1)^2+(y-3)^2=16}\).
b) Stosując wzór na pole koła otrzymujemy \(\displaystyle{ P=\pi\cdot 4^2-\pi\cdot 1^2=15\pi}\).
a) Szukaną prostą jest prosta przechodząca przez środki danych okręgów, tj przez punkty (-1,-2) i (-1,2), czyli x=-1.
b) Zapiszmy rónanie okręgu \(\displaystyle{ O_1}\) w postaci jawnej: \(\displaystyle{ (x+1)^2+(y+2)^2=4}\). Ponieważ styczna ma być nachylona pod kątem \(\displaystyle{ \alpha=135^{o}}\) do osi OX, to jej współczynnik kierunkowy wynosi \(\displaystyle{ a=\tg\alpha=\tg 135^{o}=\tg(180^{o}-45^{o})=-\tg 45^{o}=-1}\). Zatem równanie tej stycznej jest postaci \(\displaystyle{ y=-x+b}\) dla pewnej liczby \(\displaystyle{ b\in\mathbb{R}}\).
Zauważmy, że styczna do okręgu musi mieć z nim dokładnie jeden punkt wspólny i rozważmy układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} (x+1)^2+(y+2)^2=4 \\ y=-x+b \end{cases}}\).
Układ ten ma mieć dokładnie jedno rozwiązanie (x,y), a to jest równoważne z faktem, że równanie \(\displaystyle{ (x+1)^2+(-x+b+2)^2=4}\) (powstałe po wstawieniu drugiego równania układu do równania pierwszego) ma mieć dokładnie jedno rozwiązanie. Otrzymane równanie jest równaniem kwadratowym zmiennej x postaci \(\displaystyle{ 2x^2+(2-2(b+2))x+(b+2)^2-4=0}\),
czyli \(\displaystyle{ 2x^2-2(b+1)x+b^2+4b=0}\).
Wiemy, że aby to rónanie miało dokładnie jedno rozwiązanie, musi być \(\displaystyle{ \Delta=0}\), czyli \(\displaystyle{ 4(b+1)^2-8(b^2+4b)=0}\), tzn. \(\displaystyle{ -4b^2-24b+4=0}\) i stąd \(\displaystyle{ b^2+6b-1=0}\), czyli \(\displaystyle{ b=-3-\sqrt{10}}\) lub \(\displaystyle{ b=-3+\sqrt{10}}\). Reasumując, otrzymujemy dwie styczne do okręgu o równaniach \(\displaystyle{ y=-x-3-\sqrt{10}}\) oraz \(\displaystyle{ y=-x-3+\sqrt{10}}\).
Zadanie 2.
a) Okrąg \(\displaystyle{ O_1}\) ma równanie jawne postaci \(\displaystyle{ (x+1)^2+(y-3)^2=1}\), więc jego środek znajduje się w punkcie (-1,3). W konsekwencji szukany tutaj okrąg ma równanie \(\displaystyle{ (x+1)^2+(y-3)^2=16}\).
b) Stosując wzór na pole koła otrzymujemy \(\displaystyle{ P=\pi\cdot 4^2-\pi\cdot 1^2=15\pi}\).