Pole trójkąta można obliczyć korzystając ze wzoru
\(\displaystyle{ P=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}\)
Znając ten wzór oblicz pole trójkąta ABC
a) o bokach |AB|=10, |BC|=11, |CA|=13
b) o wierzchołkach A=(2,2), B=(-1,4), C=(-2,-3)
Pole trójkąta metodą analityczną
-
anibod
- Użytkownik
- Posty: 188
- Rejestracja: 12 wrz 2008, o 10:27
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Sulejówek
- Pomógł: 58 razy
Pole trójkąta metodą analityczną
b)
\(\displaystyle{ A=(2,2), B=(-1,4), C=(-2,-3)}\)
Niech \(\displaystyle{ \left| AB\right| =a, ft| BC\right| =b, ft| AC\right| =c}\)
Na podstawie wzoru na odległość między dwoma pkt. wyznaczasz dł. odcinków AB, BC, AC
\(\displaystyle{ \left| AB\right| =\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}}\)
\(\displaystyle{ \left| AB\right| = \sqtrt{13}, ft| BC\right| = 5 \sqrt{2}, ft| AC\right| =\sqrt{41}}\)
p - połowa obwodu
\(\displaystyle{ p=\frac{a+b+c}{2}=\frac{\sqrt{13}+5\sqrt{2}+\sqrt{41}}{2}}\)
Podstawiasz do wzoru: \(\displaystyle{ P=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}\)
łatwiej będzie wyliczyć poszczególne działania pod pierwiastkiem, a później wstawić je do wzoru.
\(\displaystyle{ p(p-a)=\frac{\sqrt{13}+5\sqrt{2}+\sqrt{41}}{2}(\frac{\sqrt{13}+5\sqrt{2}+\sqrt{41}}{2} - \sqrt{13}) = \frac{\sqrt{13}+5\sqrt{2}+\sqrt{41}}{2} \frac{-\sqrt{13}+5\sqrt{2}+\sqrt{41}}{2}=\frac{(\sqrt{13}+5\sqrt{2}+\sqrt{41})(-\sqrt{13}+5\sqrt{2}+\sqrt{41})}{4}=\frac{10 \sqrt{82}+78}{4}=\frac{5\sqrt{82}+39}{2}}\)
\(\displaystyle{ (p-b)(p-c) = (\frac{\sqrt{13}+5\sqrt{2}+\sqrt{41}}{2}--5\sqrt{2})(\frac{\sqrt{13}+5\sqrt{2}+\sqrt{41}}{2}-\sqrt{41})=(\frac{\sqrt{13}-5\sqrt{2}+\sqrt{41}}{2})(\frac{\sqrt{13}+5\sqrt{2}-\sqrt{41}}{2})=\frac{10\sqrt{82}-78}{4}=\frac{5\sqrt{82}-39}{2}}\)
Podstawiając do wzoru otrzymujesz:
\(\displaystyle{ P=\sqrt{\frac{5\sqrt{82}+39}{2} \frac{5\sqrt{82}-39}{2}} =\sqrt{\frac{(5\sqrt{82}+39)(5\sqrt{82}-39)}{4}}=\sqrt{\frac{529}{4}}=\frac{23}{2}}\)
\(\displaystyle{ A=(2,2), B=(-1,4), C=(-2,-3)}\)
Niech \(\displaystyle{ \left| AB\right| =a, ft| BC\right| =b, ft| AC\right| =c}\)
Na podstawie wzoru na odległość między dwoma pkt. wyznaczasz dł. odcinków AB, BC, AC
\(\displaystyle{ \left| AB\right| =\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}}\)
\(\displaystyle{ \left| AB\right| = \sqtrt{13}, ft| BC\right| = 5 \sqrt{2}, ft| AC\right| =\sqrt{41}}\)
p - połowa obwodu
\(\displaystyle{ p=\frac{a+b+c}{2}=\frac{\sqrt{13}+5\sqrt{2}+\sqrt{41}}{2}}\)
Podstawiasz do wzoru: \(\displaystyle{ P=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}\)
łatwiej będzie wyliczyć poszczególne działania pod pierwiastkiem, a później wstawić je do wzoru.
\(\displaystyle{ p(p-a)=\frac{\sqrt{13}+5\sqrt{2}+\sqrt{41}}{2}(\frac{\sqrt{13}+5\sqrt{2}+\sqrt{41}}{2} - \sqrt{13}) = \frac{\sqrt{13}+5\sqrt{2}+\sqrt{41}}{2} \frac{-\sqrt{13}+5\sqrt{2}+\sqrt{41}}{2}=\frac{(\sqrt{13}+5\sqrt{2}+\sqrt{41})(-\sqrt{13}+5\sqrt{2}+\sqrt{41})}{4}=\frac{10 \sqrt{82}+78}{4}=\frac{5\sqrt{82}+39}{2}}\)
\(\displaystyle{ (p-b)(p-c) = (\frac{\sqrt{13}+5\sqrt{2}+\sqrt{41}}{2}--5\sqrt{2})(\frac{\sqrt{13}+5\sqrt{2}+\sqrt{41}}{2}-\sqrt{41})=(\frac{\sqrt{13}-5\sqrt{2}+\sqrt{41}}{2})(\frac{\sqrt{13}+5\sqrt{2}-\sqrt{41}}{2})=\frac{10\sqrt{82}-78}{4}=\frac{5\sqrt{82}-39}{2}}\)
Podstawiając do wzoru otrzymujesz:
\(\displaystyle{ P=\sqrt{\frac{5\sqrt{82}+39}{2} \frac{5\sqrt{82}-39}{2}} =\sqrt{\frac{(5\sqrt{82}+39)(5\sqrt{82}-39)}{4}}=\sqrt{\frac{529}{4}}=\frac{23}{2}}\)