łamana

[fiolek]

Dane są punkty A(2,2), B(5,3) . Na prostej o równaniu x+y=0 wyznacz punkt C tak, by długość łamanej ACB była najmniejsza.

[JankoS]

Dane są punkty A(2,2), B(5,3) . Na prostej o równaniu x+y=0 wyznacz punkt C tak, by długość łamanej ACB była najmniejsza.

Niech C ma współrzędne (x, y). punkt należy do prostej, więc \(\displaystyle{ C=(x,-x). \\ d _{AC+CB} ^{2} =(x-2)^2+(-x-2)^2+(5-x)^2+(3+x)^2}\)
Po wykonaniu działań otrzymamy trójmian kwadratowy. Wystarczy znaleźć pierwszą współrzędną jego wierzchoła (x = -b/2a).

Zmiana
Powyższe jest ewidentną nieprawdą i pozostaje, jako świadecteo omylności. Zamiast tego winno być:
\(\displaystyle{ d _{AC+CB} = \sqrt{(x-2)^2+(-x-2)^2}+ \sqrt{(5-x)^2+(3-(-x))^2} = \sqrt{2x^2+8}+ \sqrt{2x^2-16x+34}.}\)
I to trzeba zminimalizować względem x

[fiolek]

Dlaczego podniosłeś to do kwadratu? I czy tam nie powinno być \(\displaystyle{ (3-x)^{2}}\) ?Prosze o wyjaśnienie

[JankoS]

Dlaczego podniosłeś to do kwadratu? I czy tam nie powinno być \(\displaystyle{ (3-x)^{2}}\) ?Prosze o wyjaśnienie

Suma odległości, czyli długość łamanej d jest liczbą dodatnią, więc będzie najmniejsza, gdy najmniejszy jest jej kwadrat albo inaczej pierwiastek ma naimniejszą wartość, *kiedy wyrażenie pod pierwiastkiem jest najmniejsze.
\(\displaystyle{ CB= \sqrt{(5-x)^2+(3-(-x))^2}.}\)**
*....** - tego powinno nie być.

[fiolek]

jUż rozumiem, dziekuję .

[JankoS]

jUż rozumiem, dziekuję .

Jak obiecano. To samo na poziomie gimnazjum(?).

Niech \(\displaystyle{ A'=S_l(A).}\) oznacza obraz punktu A w symetrii względem prostej l: x + y = 0. Łatwo policzyć jego współrzędne - \(\displaystyle{ A'(-2, \ -2).}\)
Prosta l jest symetralną odcinka A'A, więc AC = A"C.
Suma odległości AC + BC = A'C + BC jest najmniejsza, gdy punkty A', C, B są wspóliniowe. Należy więc znaleźć równanie prostej k wyznaczonej przez punkty \(\displaystyle{ A'(-2, \ -2) \ i \ B(5,3),}\)
Mnie "wyszło \(\displaystyle{ k: \ 5x-7y=4.}\)
Współrzędne szukanego punktu są rozwiązaniem układu równań wyznaczających proste k, l. \(\displaystyle{ C(\frac{1}{3}, \ -\frac{1}{3}).}\)

[fiolek]

jeszcze raz dziękuję, w końcu sama tez do tego doszłam, okreżnymi drogami, ale jednak . ;D