przekształcenie (izometria)

[panisiara]

Przekształcenie P jest określone w następujący sposób: P((x,y)= (y+2,x-1)), gdzie x i y należą do zbioru liczb rzeczywistych. Wykaż, ze to przekształcenie jest izometrią

[miki999]

Niech dane będą pkt. \(\displaystyle{ P _{1} \ i\ P _{2}}\):
\(\displaystyle{ P _{1}=(x _{1},y _{1} )\ P _{2} =(x _{2} ,y _{2} )}\)
Długość wektora:
\(\displaystyle{ |\vec{P _{1}P _{2} }|= \sqrt{(x _{2}-x _{1})^{2}+(y _{2}-y _{1})^{2} }}\)

Przekształcenie i nasze pkt.:
\(\displaystyle{ P _{1}'=(x _{1}-1,y _{1}+2 )\ P _{2}' =(x _{2}-1 ,y _{2}+2 )}\)
Długość wektora:
\(\displaystyle{ |\vec{P _{1}'P _{2}' }|= \sqrt{([x _{2}-1]-[x _{1}-1])^{2}+([y _{2}+2]-[y _{1}+2])^{2} }= \sqrt{(x _{2}-x _{1})^{2}+(y _{2}-y _{1})^{2} }}\)

Przekształcenie zatem jest izometrią.