witam,
mam takie krótkie zadanie z dwiema prostymi:
dane są proste:
\(\displaystyle{ l_{1} : \frac{x+5}{4} = \frac{y-5}{-2} = \frac{z-5}{-4}}\)
\(\displaystyle{ l _{2} : \frac{x+4}{2} = \frac{y-4}{-1} = \frac{z+1}{-2}}\)
a) zbadać wzajemne położenie prostych
b) wyznaczyć odległość miedzy tymi prostymi
c) poprowadzić płaszczyznę zawierająca obie proste (jeśli istnieje)
bardzo proszę o jak najszybsza odpowiedz
dwie proste - wzajemne położenie, odległość, ...
-
meninio
- Użytkownik
- Posty: 1876
- Rejestracja: 3 maja 2008, o 11:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Jastrzębie Zdrój
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 467 razy
dwie proste - wzajemne położenie, odległość, ...
a)
Wektor równoległy do pierwszej prostej: \(\displaystyle{ \vec{n_1}=[4,-2,-4]}\)
Wektor równoległy do drugiej prostej: \(\displaystyle{ \vec{n_2}=[2,-1,-2]}\)
Łatwo zauważyć, że \(\displaystyle{ \vec{n_1}=2\vec{n_2}}\) czyli wektory są do siebie równoległe, a więc i proste wyznaczone przez te wektory są do siebie równoległe.
Albo można też sprawdzić: \(\displaystyle{ \vec{n_1} \circ \vec{n_2}=0}\). Bo iloczyn wektorowy dwóch wektorów jest równy 0, jeśli te wektory są do siebie równoległe.
c)
Równanie płaszczyzny można znaleźć w standardowy sposób.
Wiemy, że przez trzy punkty przechodzi dokładnie jedna płaszczyzna.
Te trzy punkty znajdziemy z warunku, że te dwie proste należą do tej płaszczyzny, czyli znajdziemy dwa dowolne punkty na jednej prostej i jeden dowolny punkt na drugiej prostej.
Punkty należące do prostej \(\displaystyle{ l_1}\) to np. \(\displaystyle{ X=(-5,5,5), Y=(3,1,-3)}\)
Punkt należący do prostej \(\displaystyle{ l_2}\) to np. \(\displaystyle{ Z=(-4,4,-1)}\)
Jak mamy 3 punkty należące do szukanej płaszczyzny \(\displaystyle{ \Pi}\) to teraz już standardowa procedura.
Czyli najpierw znajdujemy wektor \(\displaystyle{ \vex{n}}\) prostopadły do szukanej płaszczyzny:
\(\displaystyle{ \vec{XY}=[8,-4,-8]=4[2,-1,-2] \\ \\ \vec{XZ}=[1,-1,-6]}\)
Czyli:
\(\displaystyle{ \vec{n}=\vec{XY} \vec{XZ}=\left|\begin{array}{ccc}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\2&-1&-2\\1&-1&-6\end{array}\right| = ft[ ft|\begin{array}{cc}-1&-2\\-1&-6\end{array}\right|, -\left|\begin{array}{cc}2&-2\\1&-6\end{array}\right|, ft|\begin{array}{cc}2&-1\\1&-1\end{array}\right| \right] \\ \\\vec{n}=[4,10,-1]}\)
Więc równanie płaszczyzny przedstawia się następująco:
\(\displaystyle{ \Pi: Ax+By+Cz+D=0 \\ \Pi: 4x+10y-z+D=0}\)
Podstawiamy jakiś punkt do równania płaszczyzny:
\(\displaystyle{ Y \Pi 4*3+10*1-(-3)+D=0 D=-25}\)
Czyli równanie płaszczyzny wynosi: \(\displaystyle{ \Pi: 4x+10y-z-25=0}\)
Wektor równoległy do pierwszej prostej: \(\displaystyle{ \vec{n_1}=[4,-2,-4]}\)
Wektor równoległy do drugiej prostej: \(\displaystyle{ \vec{n_2}=[2,-1,-2]}\)
Łatwo zauważyć, że \(\displaystyle{ \vec{n_1}=2\vec{n_2}}\) czyli wektory są do siebie równoległe, a więc i proste wyznaczone przez te wektory są do siebie równoległe.
Albo można też sprawdzić: \(\displaystyle{ \vec{n_1} \circ \vec{n_2}=0}\). Bo iloczyn wektorowy dwóch wektorów jest równy 0, jeśli te wektory są do siebie równoległe.
c)
Równanie płaszczyzny można znaleźć w standardowy sposób.
Wiemy, że przez trzy punkty przechodzi dokładnie jedna płaszczyzna.
Te trzy punkty znajdziemy z warunku, że te dwie proste należą do tej płaszczyzny, czyli znajdziemy dwa dowolne punkty na jednej prostej i jeden dowolny punkt na drugiej prostej.
Punkty należące do prostej \(\displaystyle{ l_1}\) to np. \(\displaystyle{ X=(-5,5,5), Y=(3,1,-3)}\)
Punkt należący do prostej \(\displaystyle{ l_2}\) to np. \(\displaystyle{ Z=(-4,4,-1)}\)
Jak mamy 3 punkty należące do szukanej płaszczyzny \(\displaystyle{ \Pi}\) to teraz już standardowa procedura.
Czyli najpierw znajdujemy wektor \(\displaystyle{ \vex{n}}\) prostopadły do szukanej płaszczyzny:
\(\displaystyle{ \vec{XY}=[8,-4,-8]=4[2,-1,-2] \\ \\ \vec{XZ}=[1,-1,-6]}\)
Czyli:
\(\displaystyle{ \vec{n}=\vec{XY} \vec{XZ}=\left|\begin{array}{ccc}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\2&-1&-2\\1&-1&-6\end{array}\right| = ft[ ft|\begin{array}{cc}-1&-2\\-1&-6\end{array}\right|, -\left|\begin{array}{cc}2&-2\\1&-6\end{array}\right|, ft|\begin{array}{cc}2&-1\\1&-1\end{array}\right| \right] \\ \\\vec{n}=[4,10,-1]}\)
Więc równanie płaszczyzny przedstawia się następująco:
\(\displaystyle{ \Pi: Ax+By+Cz+D=0 \\ \Pi: 4x+10y-z+D=0}\)
Podstawiamy jakiś punkt do równania płaszczyzny:
\(\displaystyle{ Y \Pi 4*3+10*1-(-3)+D=0 D=-25}\)
Czyli równanie płaszczyzny wynosi: \(\displaystyle{ \Pi: 4x+10y-z-25=0}\)