Walec o największym polu powierzchni bocznej

[wojskib]

Który z walców o danym obwodzie 2d przekroju osiowego ma największe pole powierzchni bocznej?

[meninio]

Przekrój osiowy jest prostokątem o bokach \(\displaystyle{ a,b}\).
Z treści zadania mamy, że: \(\displaystyle{ 2a+2b=2d b=d-a}\)

Pole powierzchni bocznej walca wynosi: \(\displaystyle{ P_b=2 \pi \frac{a}{2}b=\pi ab=\pi a (d-a)=-\pi a^2+\pi da}\)

Pole powierzchni bocznej walca jest określone funkcja kwadratową, która osiąga maksimum w wierzchołku czyli:

\(\displaystyle{ a_w=\frac{-\pi d}{-2 \pi}=\frac{d}{2}}\)

Czyli pole powierzchni bocznej jest maksymalne jesli \(\displaystyle{ a=\frac{d}{2}}\)

Czyli wymiary walca:
1. promień: \(\displaystyle{ r=\frac{a}{2}=\frac{r}{4}}\)
2. wysokość: \(\displaystyle{ h=b=d-a=\frac{d}{2}}\)