Figury i przekształcenia

[bartekh]

Dane są okręgi \(\displaystyle{ 0 _{1}}\):\(\displaystyle{ (x-2m) ^{2}}\) +\(\displaystyle{ (y+2) ^{2} =20}\) i \(\displaystyle{ 0 _{2}}\): \(\displaystyle{ (x+1) ^{2}}\)+\(\displaystyle{ (y-m) ^{2}}\)=5 . Wyznacz wartości m , dla których:
a)okręgi są styczne zewnętrznie
b)prosta o równaniu y=2x+m jest styczna do okręgu \(\displaystyle{ 0 _{1}}\)


Wiecie jak zrobić?

[Szemek]

wskazówki
a)
suma długości promieni jest równa odległości pomiędzy środkami okręgów
b)
odległość prostej od okręgi jest równa promieniowi

[Wicio]

styczne zewnętrznie – mają dokładnie jeden punkt wspólny, żaden z nich nie leży w kole ograniczonym przez drugi okrąg: d(O1,O2) = r1 + r2,

Środki okręgów to:

P(2m ; -2)
S(-1,m)

Liczysz długość odcinak PS ze wzoru

Teraz promienie
w pierwszym promień wynosi
\(\displaystyle{ \sqrt{20} =2 \sqrt{5}}\)

W drugim
\(\displaystyle{ \sqrt{5}}\)

No i przyrównujesz długośc PS do sumy promieni (masz wówczas jedną niewiadomą) i wyliczasz m

[bartekh]

Kurde:/ nie moze mi wyjsc... moze mam złe obliczenia?jaki wynik powinnien byc??

[Wicio]

Zamieść swoje obliczenia a my wyłapiemy błąd

[ Dodano: 13 Września 2008, 14:39 ]
Tu masz wzór na długość odcinka- policz długość naszego PS

Kod: Zaznacz cały

http://www.interklasa.pl/portal/dokumenty/tab_mat/

[bartekh]

Nie mam flesha i nie moge go zainstalowac...:/

[Wicio]

Jeśli A = (xA, yA), B = (xB, yB), to długość odcinka wyraża się wzorem
|AB|= \(\displaystyle{ \sqrt{(xB-xA) ^{2} +(yB-yA) ^{2} }}\)

To jest ten wzór a mamy punkty P i S

[bartekh]

a podpunkt b?

[Wicio]

Odległość punktu P = (x_P, y_P); od prostej danej równaniem ogólnym:

\(\displaystyle{ d=\frac{|Ax+By+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}}\)

a równanie prostej to:
2x-y+m=0

A nasz punkt to P(2m ; -2)

Więc tylko podstawić

A wiemy,ze ta odległośc jest równa promieniowi, więc:

\(\displaystyle{ d=2 \sqrt{5}}\)

I wyliczasz m

[bartekh]

kurde jestem za słaby chyba...nie wiem jak to wyliczyc://

[Wicio]

z podpunktem a sobie poradziłeś?

B
\(\displaystyle{ d=\frac{|2 2m-1 (-2)+m |}{\sqrt{2^2+(-1)^2}} =\frac{|4m+2+m |}{\sqrt{5}}}\)

\(\displaystyle{ \frac{|4m+2+m| }{\sqrt{5}}=2 \sqrt{5}}\) /\(\displaystyle{ \cdot \sqrt{5}}\)
\(\displaystyle{ |4m+2+m |=10}\)


\(\displaystyle{ 4m+2+m =10}\)
\(\displaystyle{ 5m =8}\)
\(\displaystyle{ m = \frac{8}{5}}\)

lub

\(\displaystyle{ 4m+2+m =-10}\)
\(\displaystyle{ 5m =-12}\)
\(\displaystyle{ m =- \frac{12}{5}}\)

[bartekh]

Z podpunktem a)jakbys mogl podac,to bym sprawdzil sobie. I jeszcze pytanie dlaczego w wyniku z podpuntku b)sa dwa przypadki dla m??

[Wicio]

Bo masz wartość bezwzględną,np.
|x|=2
to x=-2 lub x=2
Tak samo tutaj rozpatrujesz dwa przypadki

Długość odcinka PS:
\(\displaystyle{ \sqrt{(-1-2m) ^{2} +(m+2) ^{2} }}\)

Więc mamy:

\(\displaystyle{ \sqrt{(-1-2m) ^{2} +(m+2) ^{2} }=2 \sqrt{5} + \sqrt{5}}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{1+4m+4m ^{2} +m ^{2} +4m+4 }=3 \sqrt{5}}\)
\(\displaystyle{ 5m ^{2} +8m+5=45}\)
\(\displaystyle{ 5m ^{2} +8m-40=0}\)

\(\displaystyle{ \Delta=64+800=864}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}=12 \sqrt{6}}\)

\(\displaystyle{ m _{1} = \frac{-8-12 \sqrt{6} }{10}}\)
LUB
\(\displaystyle{ m _{2} = \frac{-8+12 \sqrt{6} }{10}}\)

[bartekh]

A dlaczego opusciles od razu pierwiastek i skad Ci sie wzielo z 3(pierwiastkow)z pieciu wynik 45??? chodzi mi o podpunkt a)

[Wicio]

\(\displaystyle{ \sqrt{1+4m+4m ^{2} +m ^{2} +4m+4 }=3 \sqrt{5}}\) / \(\displaystyle{ ^{2}}\)
\(\displaystyle{ 1+4m+4m ^{2} +m ^{2} +4m+4 = [3 \sqrt{5} ] ^{2}}\)
\(\displaystyle{ 5m ^{2} +8m+5=45}\)

Jasne?

Po prostu obie strony podniosłem do kwadratu ( do potęgi drugiej) ;p

[ Dodano: 13 Września 2008, 22:39 ]
Ojj ;/ zawieruszyła mi się wartośc bezwzględna ;/
Jak opuszczam pierwiastek to zgubiłem wartośc bezwzględną ;/
Powinno być tak:

\(\displaystyle{ \sqrt{1+4m+4m ^{2} +m ^{2} +4m+4 }=3 \sqrt{5}}\)/\(\displaystyle{ ^{2}}\)
\(\displaystyle{ |1+4m+4m ^{2} +m ^{2} +4m+4 |= [3 \sqrt{5} ] ^{2}}\)
\(\displaystyle{ |5m ^{2} +8m+5|=45}\)

I teraz opuszczam wartośc bezwzględną:

\(\displaystyle{ 5m ^{2} +8m+5=45}\) LUB \(\displaystyle{ 5m ^{2} +8m+5=-45}\)
Pierwszy przypadek już rozpatrzyłem i wyliczyłem. Wylicz jeszcze tylko drugi przypadek - w ten sam sposób co pierwszy ( czyli wylicz deltę i rozwiązania ) ;p

[ Dodano: 13 Września 2008, 22:42 ]
Jeszcze zjadłem założenie- że to co pod pierwiastkiem koniecznie > 0

Więc:

\(\displaystyle{ \sqrt{1+4m+4m ^{2} +m ^{2} +4m+4 }>0}\)
\(\displaystyle{ 1+4m+4m ^{2} +m ^{2} +4m+4 >0}\)

I to rozwiąż i potem masz już dziedzine do jakiej nalezy m i potem jak obliczasz m to musisz zobaczyć czy nalezy do dziedziny czy nie, jesli nie to sprzeczne i wynik odrzucamy.