1. A) wyznacz wspolrzedne punktu symetrycznego do punktu P =(2,3) wzgledem prostej y = -\(\displaystyle{ \frac{1}{2}x - 4}\)
b) wyznacz wspolrzedne punktu symetrycznego do punktu P= (-1,3) wzgledem prostej y= 2x-5
2.wyznacz wspolrzedne punktu lezacego na prostej y= \(\displaystyle{ \frac{1}{2} x +3}\) jednakowo odleglego od punktu A(-2,-1) i B (4,-3).
3. Dana jest prosta I o rownaniu y= -2x+6 oraz punkty A=(6,4), B=(-2,0). Wyznacz wspolrzedne punktu C lezacego na prostej I tak, aby trojkat ABC byl trojkatem prostokatnym o kacie prostym przy wierzcholku C.
Zadania z Geometrii Analitycznej.wyznaczanie współrzędnych
-
- Użytkownik
- Posty: 82
- Rejestracja: 19 mar 2007, o 20:59
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: z neta
- Podziękował: 18 razy
- Viathor
- Użytkownik
- Posty: 336
- Rejestracja: 20 paź 2007, o 11:02
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 96 razy
Zadania z Geometrii Analitycznej.wyznaczanie współrzędnych
1) A)
1. wyznaczasz prostą prostopadłą do danej, przechodzącą przez P:
\(\displaystyle{ y=2x-1}\)
2. Wyznaczasz punkt przecięcia obu prostych
\(\displaystyle{ \begin{cases} y=2x-1 \\ y=- \frac{1}{2}x -4 \end{cases} \\
A(- \frac{6}{5}, - \frac{17}{5})}\)
Punkt A jest środkiem odcinka PP',czyli
\(\displaystyle{ - \frac{6}{5}= [\frac{xP'+2}{2}], - \frac{17}{5}=[ \frac{yP'+3}{2}]}\)
\(\displaystyle{ P'(- \frac{22}{5},- \frac{49}{5})}\)
podobnie b)
1. wyznaczasz prostą prostopadłą do danej, przechodzącą przez P:
\(\displaystyle{ y=2x-1}\)
2. Wyznaczasz punkt przecięcia obu prostych
\(\displaystyle{ \begin{cases} y=2x-1 \\ y=- \frac{1}{2}x -4 \end{cases} \\
A(- \frac{6}{5}, - \frac{17}{5})}\)
Punkt A jest środkiem odcinka PP',czyli
\(\displaystyle{ - \frac{6}{5}= [\frac{xP'+2}{2}], - \frac{17}{5}=[ \frac{yP'+3}{2}]}\)
\(\displaystyle{ P'(- \frac{22}{5},- \frac{49}{5})}\)
podobnie b)
- Mersenne
- Użytkownik
- Posty: 1010
- Rejestracja: 27 cze 2005, o 23:52
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Bytom/Katowice
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 303 razy
Zadania z Geometrii Analitycznej.wyznaczanie współrzędnych
Dla przykładu:
Zad. 1
\(\displaystyle{ k:y=-\frac{1}{2}x-4}\)
\(\displaystyle{ P=(2;3)}\)
Wyznaczamy równanie prostej prostopadłej do prostej \(\displaystyle{ k}\):
\(\displaystyle{ l:y=ax+b}\)
\(\displaystyle{ l\perp k\iff a\cdot ft(-\frac{1}{2}\right)=-1\iff a=2}\)
\(\displaystyle{ l:y=2x+b}\)
Ponadto punkt \(\displaystyle{ P}\) należy do prostej \(\displaystyle{ l}\), stąd mamy:
\(\displaystyle{ P\in l\iff 2\cdot2+b=3 \iff 4+b=3\iff b=-1}\)
Zatem: \(\displaystyle{ l:y=2x-1}\)
Wyznaczamy współrzędne punktu \(\displaystyle{ S}\) przecięcia się prostych \(\displaystyle{ k}\) i \(\displaystyle{ l}\).
\(\displaystyle{ \begin{cases} -\frac{1}{2}x-4=y \\ 2x-1=y \end{cases} \iff \begin{cases} -2x-16=4y \\ 2x-1=y \end{cases} \iff \begin{cases} 5y=-17 \\ 2x=y+1 \end{cases} \iff \begin{cases} x=-1\frac{1}{5} \\ y=-3\frac{2}{5} \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ S=\left(-1\frac{1}{5}; -3\frac{2}{5}\right)}\)
Korzystamy z faktu, że punkt \(\displaystyle{ S}\) jest środkiem odcinka \(\displaystyle{ PP'}\):
\(\displaystyle{ P'=(x_{P'};y_{P'})}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{x_{P'}+2}{2}=-1\frac{1}{5} \\ \frac{y_{P'}+3}{2}=-3\frac{2}{5} \end{cases} \iff \begin{cases} x_{P'}=-4\frac{2}{5} \\ y_{P'}=-9\frac{4}{5} \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ P'=\left(-4\frac{2}{5};-9\frac{4}{5}\right)}\)
Odp.: \(\displaystyle{ P'=\left(-4\frac{2}{5};-9\frac{4}{5}\right)}\)
Zad. 1
\(\displaystyle{ k:y=-\frac{1}{2}x-4}\)
\(\displaystyle{ P=(2;3)}\)
Wyznaczamy równanie prostej prostopadłej do prostej \(\displaystyle{ k}\):
\(\displaystyle{ l:y=ax+b}\)
\(\displaystyle{ l\perp k\iff a\cdot ft(-\frac{1}{2}\right)=-1\iff a=2}\)
\(\displaystyle{ l:y=2x+b}\)
Ponadto punkt \(\displaystyle{ P}\) należy do prostej \(\displaystyle{ l}\), stąd mamy:
\(\displaystyle{ P\in l\iff 2\cdot2+b=3 \iff 4+b=3\iff b=-1}\)
Zatem: \(\displaystyle{ l:y=2x-1}\)
Wyznaczamy współrzędne punktu \(\displaystyle{ S}\) przecięcia się prostych \(\displaystyle{ k}\) i \(\displaystyle{ l}\).
\(\displaystyle{ \begin{cases} -\frac{1}{2}x-4=y \\ 2x-1=y \end{cases} \iff \begin{cases} -2x-16=4y \\ 2x-1=y \end{cases} \iff \begin{cases} 5y=-17 \\ 2x=y+1 \end{cases} \iff \begin{cases} x=-1\frac{1}{5} \\ y=-3\frac{2}{5} \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ S=\left(-1\frac{1}{5}; -3\frac{2}{5}\right)}\)
Korzystamy z faktu, że punkt \(\displaystyle{ S}\) jest środkiem odcinka \(\displaystyle{ PP'}\):
\(\displaystyle{ P'=(x_{P'};y_{P'})}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{x_{P'}+2}{2}=-1\frac{1}{5} \\ \frac{y_{P'}+3}{2}=-3\frac{2}{5} \end{cases} \iff \begin{cases} x_{P'}=-4\frac{2}{5} \\ y_{P'}=-9\frac{4}{5} \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ P'=\left(-4\frac{2}{5};-9\frac{4}{5}\right)}\)
Odp.: \(\displaystyle{ P'=\left(-4\frac{2}{5};-9\frac{4}{5}\right)}\)