Zadania z Geometrii Analitycznej.wyznaczanie współrzędnych

[martyna640]

1. A) wyznacz wspolrzedne punktu symetrycznego do punktu P =(2,3) wzgledem prostej y = -\(\displaystyle{ \frac{1}{2}x - 4}\)

b) wyznacz wspolrzedne punktu symetrycznego do punktu P= (-1,3) wzgledem prostej y= 2x-5


2.wyznacz wspolrzedne punktu lezacego na prostej y= \(\displaystyle{ \frac{1}{2} x +3}\) jednakowo odleglego od punktu A(-2,-1) i B (4,-3).


3. Dana jest prosta I o rownaniu y= -2x+6 oraz punkty A=(6,4), B=(-2,0). Wyznacz wspolrzedne punktu C lezacego na prostej I tak, aby trojkat ABC byl trojkatem prostokatnym o kacie prostym przy wierzcholku C.

[Viathor]

1) A)

1. wyznaczasz prostą prostopadłą do danej, przechodzącą przez P:

\(\displaystyle{ y=2x-1}\)

2. Wyznaczasz punkt przecięcia obu prostych

\(\displaystyle{ \begin{cases} y=2x-1 \\ y=- \frac{1}{2}x -4 \end{cases} \\
A(- \frac{6}{5}, - \frac{17}{5})}\)

Punkt A jest środkiem odcinka PP',czyli

\(\displaystyle{ - \frac{6}{5}= [\frac{xP'+2}{2}], - \frac{17}{5}=[ \frac{yP'+3}{2}]}\)

\(\displaystyle{ P'(- \frac{22}{5},- \frac{49}{5})}\)

podobnie b)

[Mersenne]

Dla przykładu:

Zad. 1

\(\displaystyle{ k:y=-\frac{1}{2}x-4}\)

\(\displaystyle{ P=(2;3)}\)

Wyznaczamy równanie prostej prostopadłej do prostej \(\displaystyle{ k}\):

\(\displaystyle{ l:y=ax+b}\)

\(\displaystyle{ l\perp k\iff a\cdot ft(-\frac{1}{2}\right)=-1\iff a=2}\)

\(\displaystyle{ l:y=2x+b}\)

Ponadto punkt \(\displaystyle{ P}\) należy do prostej \(\displaystyle{ l}\), stąd mamy:

\(\displaystyle{ P\in l\iff 2\cdot2+b=3 \iff 4+b=3\iff b=-1}\)

Zatem: \(\displaystyle{ l:y=2x-1}\)

Wyznaczamy współrzędne punktu \(\displaystyle{ S}\) przecięcia się prostych \(\displaystyle{ k}\) i \(\displaystyle{ l}\).

\(\displaystyle{ \begin{cases} -\frac{1}{2}x-4=y \\ 2x-1=y \end{cases} \iff \begin{cases} -2x-16=4y \\ 2x-1=y \end{cases} \iff \begin{cases} 5y=-17 \\ 2x=y+1 \end{cases} \iff \begin{cases} x=-1\frac{1}{5} \\ y=-3\frac{2}{5} \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ S=\left(-1\frac{1}{5}; -3\frac{2}{5}\right)}\)

Korzystamy z faktu, że punkt \(\displaystyle{ S}\) jest środkiem odcinka \(\displaystyle{ PP'}\):

\(\displaystyle{ P'=(x_{P'};y_{P'})}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{x_{P'}+2}{2}=-1\frac{1}{5} \\ \frac{y_{P'}+3}{2}=-3\frac{2}{5} \end{cases} \iff \begin{cases} x_{P'}=-4\frac{2}{5} \\ y_{P'}=-9\frac{4}{5} \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ P'=\left(-4\frac{2}{5};-9\frac{4}{5}\right)}\)

Odp.: \(\displaystyle{ P'=\left(-4\frac{2}{5};-9\frac{4}{5}\right)}\)