okrąg
okrąg
Narysuj to sobie. Z jednego okręgu poprowadź promienie stykające się z dwoma sąsiednimi okręgami. Powstał kwadrat ( wraz ze średnicami dużego okręgu stycznymi do tego okręgu). Poprowadź teraz promień małego okręgu, który znajduje się na prostej zawierającej środek małego i dużego okręgu. Widzisz teraz, że
\(\displaystyle{ r+r\sqrt{2}=6 r=\frac{6}{\sqrt{2}+1}=6(\sqrt{2}-1)}\)
\(\displaystyle{ r+r\sqrt{2}=6 r=\frac{6}{\sqrt{2}+1}=6(\sqrt{2}-1)}\)
- M Ciesielski
- Użytkownik
- Posty: 2524
- Rejestracja: 21 gru 2005, o 15:43
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bytom
- Podziękował: 44 razy
- Pomógł: 302 razy
okrąg
załóżmy, że promienie tych małych okręgów mają długość r.
połączmy teraz ich środki - powstanie kwadrat, oznaczmy jego wierzchołki (środki okręgów) kolejno A, B, C i D. połączmy jeszcze punkty A i C. zauważmy, że średnica dużego okręgu (12cm) jest równa sumie długości przekątnej tego kwadratu oraz podwojonemu promieniowi małych okręgów. kwadrat ten ma bok długości \(\displaystyle{ 2r}\) przekątna ma więc długość \(\displaystyle{ 2\sqrt{2}r}\).
Mamy więc:
\(\displaystyle{ 12cm = 2r + 2\sqrt{2}r \\ 12cm = r(2+2\sqrt{2}) \\ r = \frac{12}{2+2\sqrt{2}} = \frac{6}{1+\sqrt{2}} = \frac{6(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2} + 1)} = 6(\sqrt{2}-1)}\)
połączmy teraz ich środki - powstanie kwadrat, oznaczmy jego wierzchołki (środki okręgów) kolejno A, B, C i D. połączmy jeszcze punkty A i C. zauważmy, że średnica dużego okręgu (12cm) jest równa sumie długości przekątnej tego kwadratu oraz podwojonemu promieniowi małych okręgów. kwadrat ten ma bok długości \(\displaystyle{ 2r}\) przekątna ma więc długość \(\displaystyle{ 2\sqrt{2}r}\).
Mamy więc:
\(\displaystyle{ 12cm = 2r + 2\sqrt{2}r \\ 12cm = r(2+2\sqrt{2}) \\ r = \frac{12}{2+2\sqrt{2}} = \frac{6}{1+\sqrt{2}} = \frac{6(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2} + 1)} = 6(\sqrt{2}-1)}\)