Witam!
Zmagam się dość długo z problemem tworzenia okręgu w przestrzeni trójwymiarowej. Dane mam 3 punkty: A, B, C, z czego okrąg ma przechodzić przez A i B i ma być styczny do prostej AC. Rozumiem, że okrąg w przestrzeni przedstawić mogę przez układ równania sfery i płaszczyzny przechodzącej przez jej środek. Płaszczyznę definiują mi 3 dane punkty. Problem powstaje przy definiowaniu styczności pomiędzy sferą a prostą. Interesuje mnie znalezienie współrzędnych środka okręgu oraz długości jego promienia. Z góry dziękuję za odpowiedź!
Pozdrowienia!
Prosta styczna do okręgu w R3
-
Crizz
- Użytkownik
- Posty: 4094
- Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 805 razy
Prosta styczna do okręgu w R3
Weźmy taki przykład:
Znaleźć równanie okręgu przechodzącego przez punkty \(\displaystyle{ A=(2,0,0),B=(1,2,1)}\) i stycznego do prostej AC, gdzie \(\displaystyle{ C=(1,3,4)}\).
1.) Znajdźmy najpierw płaszczyznę ABC:
Niech \(\displaystyle{ Px+Qy+Rz+S=0}\) będzie szukaną płaszczyzną, wtedy:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2P+S=0 \\ P+2Q+R+S=0 \\ P+3Q+4R+S=0 \end{cases}}\)
Szukamy jednego z rozwiązań tego układu, przyjmijmy więc, że \(\displaystyle{ P=1}\). Wtedy \(\displaystyle{ S=-2}\) i mamy układ:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2Q+R=1 \\ 3Q+4R=1 \end{cases}}\)
Zatem \(\displaystyle{ Q=\frac{3}{5},R=-\frac{1}{5}}\). Ostatecznie szukaną płaszczyzną jest \(\displaystyle{ 5x+3y-z-10=0}\)
2.) Teraz znajdźmy prostą AC:
W tym celu wyznaczamy wektor AC: \(\displaystyle{ \vec{AC}=[-1,3,4]}\).
Możemy zatem zapisać równanie prostej w postaci:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=-t+2 \\ y=3t \\ z=4t \end{cases}}\)
3.) Kolejnym krokiem jest znalezienie prostej AB:
Analogicznie jak wyżej, otrzymujemy równanie prostej:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=-t+2 \\ y=2t \\ z=t \end{cases}}\)
4.) Symetralna każdej cięciwy przechodzi przez środek okręgu, więc możemy znaleźć środek okręgu jako punkt przecięcia prostej k prostopadłej do AB przechodzącej przez środek odcinka AB oraz prostej l prostopadłej do AC przechodzącej przez A (obie proste będa leżeć w znalezionej płaszczyźnie)
Prosta k ma przechodzić przez punkt \(\displaystyle{ S=(\frac{3}{2},1,\frac{1}{2})}\) (środek odcinka AB) i ma ponadto być prostopadła do prostej AB i leżeć w płaszczyźnie ABC. Niech szukana prosta ma równanie \(\displaystyle{ \begin{cases} x=at+\frac{3}{2} \\ y=bt+1 \\ z=ct+\frac{1}{2} \end{cases}}\), wówczas wektor \(\displaystyle{ [a,b,c]}\) musi być prostopadły do wektora prostej AB, czyli \(\displaystyle{ [-1,2,1]}\), oraz do wektora normalnego płaszczyzny ABC, czyli \(\displaystyle{ [5,3,-1]}\). Z warunków: \(\displaystyle{ [a,b,c] [-1,2,1]=0,[a,b,c] [5,3,-1]=0}\) otrzymujemy układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} -a+2b+c=0 \\ 5a+3b-c=0 \end{cases}}\).
Znajdujemy przykładowe rozwiązanie tego układu i otrzymujemy równanie prostej k:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=5t+\frac{3}{2} \\ y=-4t+1 \\ z=13t+\frac{1}{2} \end{cases}}\)
Prosta l ma przechodzić przez punkt A i ma być ponadto prostopadła do prostej AC i należeć do płaszczyzny ABC. W analogiczny sposób otrzymujemy jej równanie:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=15t+2 \\ y=-19t \\ z=18t \end{cases}}\)
5.) Teraz znajdziemy punkt wspólny prostych k i l: jest nim punkt \(\displaystyle{ S=(\frac{5}{7}, \frac{57}{35}, -\frac{54}{35})}\). Jest to środek szukanego okręgu. Długość \(\displaystyle{ AS=\frac{3\sqrt{910}}{35}}\) jest promieniem okręgu. Ostatecznie równanie okręgu ma postać:
\(\displaystyle{ \begin{cases} (x-\frac{5}{7})^{2}+(y-\frac{57}{35})^{2}+(z+\frac{54}{35})^{2}=\frac{234}{35} \\ 5x=3y-z-10=0 \end{cases}}\)
Znaleźć równanie okręgu przechodzącego przez punkty \(\displaystyle{ A=(2,0,0),B=(1,2,1)}\) i stycznego do prostej AC, gdzie \(\displaystyle{ C=(1,3,4)}\).
1.) Znajdźmy najpierw płaszczyznę ABC:
Niech \(\displaystyle{ Px+Qy+Rz+S=0}\) będzie szukaną płaszczyzną, wtedy:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2P+S=0 \\ P+2Q+R+S=0 \\ P+3Q+4R+S=0 \end{cases}}\)
Szukamy jednego z rozwiązań tego układu, przyjmijmy więc, że \(\displaystyle{ P=1}\). Wtedy \(\displaystyle{ S=-2}\) i mamy układ:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2Q+R=1 \\ 3Q+4R=1 \end{cases}}\)
Zatem \(\displaystyle{ Q=\frac{3}{5},R=-\frac{1}{5}}\). Ostatecznie szukaną płaszczyzną jest \(\displaystyle{ 5x+3y-z-10=0}\)
2.) Teraz znajdźmy prostą AC:
W tym celu wyznaczamy wektor AC: \(\displaystyle{ \vec{AC}=[-1,3,4]}\).
Możemy zatem zapisać równanie prostej w postaci:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=-t+2 \\ y=3t \\ z=4t \end{cases}}\)
3.) Kolejnym krokiem jest znalezienie prostej AB:
Analogicznie jak wyżej, otrzymujemy równanie prostej:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=-t+2 \\ y=2t \\ z=t \end{cases}}\)
4.) Symetralna każdej cięciwy przechodzi przez środek okręgu, więc możemy znaleźć środek okręgu jako punkt przecięcia prostej k prostopadłej do AB przechodzącej przez środek odcinka AB oraz prostej l prostopadłej do AC przechodzącej przez A (obie proste będa leżeć w znalezionej płaszczyźnie)
Prosta k ma przechodzić przez punkt \(\displaystyle{ S=(\frac{3}{2},1,\frac{1}{2})}\) (środek odcinka AB) i ma ponadto być prostopadła do prostej AB i leżeć w płaszczyźnie ABC. Niech szukana prosta ma równanie \(\displaystyle{ \begin{cases} x=at+\frac{3}{2} \\ y=bt+1 \\ z=ct+\frac{1}{2} \end{cases}}\), wówczas wektor \(\displaystyle{ [a,b,c]}\) musi być prostopadły do wektora prostej AB, czyli \(\displaystyle{ [-1,2,1]}\), oraz do wektora normalnego płaszczyzny ABC, czyli \(\displaystyle{ [5,3,-1]}\). Z warunków: \(\displaystyle{ [a,b,c] [-1,2,1]=0,[a,b,c] [5,3,-1]=0}\) otrzymujemy układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} -a+2b+c=0 \\ 5a+3b-c=0 \end{cases}}\).
Znajdujemy przykładowe rozwiązanie tego układu i otrzymujemy równanie prostej k:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=5t+\frac{3}{2} \\ y=-4t+1 \\ z=13t+\frac{1}{2} \end{cases}}\)
Prosta l ma przechodzić przez punkt A i ma być ponadto prostopadła do prostej AC i należeć do płaszczyzny ABC. W analogiczny sposób otrzymujemy jej równanie:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=15t+2 \\ y=-19t \\ z=18t \end{cases}}\)
5.) Teraz znajdziemy punkt wspólny prostych k i l: jest nim punkt \(\displaystyle{ S=(\frac{5}{7}, \frac{57}{35}, -\frac{54}{35})}\). Jest to środek szukanego okręgu. Długość \(\displaystyle{ AS=\frac{3\sqrt{910}}{35}}\) jest promieniem okręgu. Ostatecznie równanie okręgu ma postać:
\(\displaystyle{ \begin{cases} (x-\frac{5}{7})^{2}+(y-\frac{57}{35})^{2}+(z+\frac{54}{35})^{2}=\frac{234}{35} \\ 5x=3y-z-10=0 \end{cases}}\)
Prosta styczna do okręgu w R3
Dziękuję za szybką odpowiedź! Ehh... problem w tym ze mam tabelę 220 trójek punktów A B C i całość obliczeń muszę wpisać w Excela... i narazie jakoś mi nie wychodzi;) Będę musiał dokładnie przejżeć obliczenia, jeszcze raz dziękuję i pozdrowienia!