Wyznacz obraz czworokąta ABCD

[wnoros89]

Wyznacz obraz czworokąta ABCD w symetrii osiowej względem prostej o równaniu \(\displaystyle{ y=x}\) jeśli \(\displaystyle{ A=(-2,2) B=(4,1) C=(2,5) D=(-3,4)}\) Naszkicuj czworokąt ABCD i jego obraz A'B'C'D' oraz oś symetrii przekształcenia

[lukasz1804]

Wystarczy wyznaczyć współrzędne każdego z wierzchołków czworokąta A'B'C'D' jako obrazu odpowiedniego wierzchołka czworokąta ABCD w danej symetrii.
Rozumowanie poprowadzimy w kilku krokach.
Najpierw dla każdego punktuA, B, C, D wyznaczmy równania prostej przechodzącej przez ten punkt i prostopadłej do prostej y=x. Każda z tych prostych jest, wobec warunku prostopadłości prostych, postaci y=-x+b dla pewnej liczby rzeczywistej b.
Łatwo widać, że dla punktu A jest to prosta y=-x, dla punktu B prosta y=-x+5, dla punktu C prosta y=-x+7, a dla punktu D prosta y=-x+1.
Następnie wyznaczmy punkty przecięcia otrzymanych wyżej prostych z prostą y=x. Kolejno są to punkty \(\displaystyle{ (0,0),\ (\frac{5}{2},\frac{5}{2}),\ (\frac{7}{2},\frac{7}{2}),\ (\frac{1}{2},\frac{1}{2})}\).
W ostatnim kroku otrzymamy współrzędne punktów A', B', C' i D', korzystając ze wzoru na współrzędne środka odcinka.
Mamy zatem A'=(2,-2), B'=(1,4), C'=(5,2) i D'=(4,-3).