znajdź równanie okręgu spełniającego warunek

[Kamil18]

witam

Dana jest funkcja \(\displaystyle{ f(x)=\frac{8}{x}}\). Napisz równanie okręgu o środku w początku układu współrzędnych, mającego dokładnie dwa punkty wspólne z wykresem funkcji \(\displaystyle{ f(x)=\frac{8}{x}}\)

Jak to zrobić??
prosze o pomoc

[bedbet]

Równanie okręgu o środku w początku układu współrzędnych i dowolnym promieniu wyraża się wzorem:

\(\displaystyle{ x^2+y^2=R^2}\)

Więc do równania naszego szukanego okręgu brakuje nam tylko promienia. Jeśli nasz okrąg ma mieć jakikolwiek punkt wspólny z krzywą \(\displaystyle{ f(x)=\frac{8}{x}}\), to ta krzywa musi spełniać równanie naszego okręgu, tj:

\(\displaystyle{ x^2+(f(x))^2=R^2}\)
\(\displaystyle{ x^2+\frac{64}{x^2}=R^2 / \ x^2}\)
\(\displaystyle{ x^4+64=R^2x^2}\)
\(\displaystyle{ x^4-R^2x^2+64=0}\)

Równanie to może mieć \(\displaystyle{ 0, 2}\) lub \(\displaystyle{ 4}\) rozwiązania. Podstawiamy zmienną pomocniczą \(\displaystyle{ t=x^2 \ x\geqslant 0}\) i mamy:

\(\displaystyle{ t^2-R^2t+64=0}\)

Aby wyjściowe równanie miało dwa rozwiązania (zgodnie z treścią zadania) wyróżnik powyższego równania ma wynosić \(\displaystyle{ 0}\), tj:

\(\displaystyle{ 0=\Delta=R^4-256 \iff R^4=256 \iff R=4}\)

Zatem ostatecznie równanie szukanego okręgu wyraża się wzorem: \(\displaystyle{ x^2+y^2=16}\).
P.S. Spróbuj zastanowić się nad innym sposobem rozwiązania tego zad.

[N4RQ5]

Okrąg powinien być styczny do wykresu funkcji. Nie może go nigdzie przecinać bo inaczej przecinałby go w 4 miejscach (2 razy w pierwszej i 2 razy w trzeciej ćwiartce układu współrzędnych.

Styczny okrąg powinien mieć promień równy odległości środka układu współrzędnych od wykresu funkcji (rozumiejąc odległość zbioru od punktu jako minimum z wszystkich odległości dany punkt-jakiś punkt ze zbioru).
Punktem wykresu najbliższym (0,0) jest punkt w którym f(x)=x. (gdy spojrzy się na wykres widać to od razu).
\(\displaystyle{ x=\frac 8x x^2=8 x= \sqrt8}\)
A punkt \(\displaystyle{ (\sqrt8, \sqrt8)}\) jest od (0,0) odległy o 4. Zatem nasz okrąg powinien mieć równanie:
\(\displaystyle{ x^2 + y^2 = 16}\)

[Kamil18]

Aby wyjściowe równanie miało dwa rozwiązania (zgodnie z treścią zadania) wyróżnik powyższego równania ma wynosić \(\displaystyle{ 0}\), tj:

\(\displaystyle{ 0=\Delta=R^4-256 \iff R^4=256 \iff R=4}\)


nie rozumiem tego stwierdzenia skoro delta = 0 to z tego co wiem jest jedno rozwiazanie... 0 ,2 , 4 rozwiazan moze miec bo to widac dokladnie na wykresie:) ale zastanawia mnie tylko ta delta = 0?? prosze wytłumacz

[meninio]

to jest równanie dwukwadratowe a nie kwadratowe. więc jak delta jest równa 0 i wyliczony pierwiastek jest dodatni to wyjściowe równanie ma dwa rozwiązania.