proste

[robin5hood]

Niech \(\displaystyle{ f(x)=\sqrt{x}}\). Niech \(\displaystyle{ l}\) bedzie prosta styczną do wykresu funkcji \(\displaystyle{ f}\) w punkcie 1. Czy istnieją punkty \(\displaystyle{ (x_1,\sqrt{x_1})}\) i \(\displaystyle{ (x_2,\sqrt{x_2})}\) takie, ze prosta \(\displaystyle{ l_1}\) przez nie przechodzaca jest równoległa do prostej \(\displaystyle{ l}\) , a odległość prostej \(\displaystyle{ l}\) i \(\displaystyle{ l_1}\) podzielona przez odległość każdego z punktów \(\displaystyle{ x_1}\) i \(\displaystyle{ x_2}\) od punktu 1 dąży do zera?

[Hallena]

Para punktów należy do prostej \(\displaystyle{ y=\sqrt{x}}\) a współczynnik kierunkowy prostej \(\displaystyle{ l_{1}}\) będzie równy pochodnej funkcji w punkcie \(\displaystyle{ x_{0}=1}\)
czyli
\(\displaystyle{ \sqrt{x}=\frac{1}{2}x+b}\)
obie strony podnosisz do kwadratu
\(\displaystyle{ 0=\frac{1}{2}x^{2}+x(b-1)+b^{2}}\)
wartość b zależy od delty
\(\displaystyle{ \Delta>0}\) bo \(\displaystyle{ l_{1}}\) ma przechodzić przez dwa punkty
\(\displaystyle{ -b^{2}-2b+1>0}\) więc
\(\displaystyle{ b{\in}(-\sqrt{2}-1;\sqrt{2}-1)}\)
prosta styczna \(\displaystyle{ l}\) ma wzór \(\displaystyle{ y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}}\) teraz odległość
wg wzoru tego \(\displaystyle{ d=\frac{|b_{1}-b_{2}|}{\sqrt{1+a^{2}}}}\)
i odpowiedni iloraz i sprawdzasz czy hipoteza czyli przypuszczenie jest prawdziwe