Pole figury opisanej równaniem (zadanko z gwiazdka)

Obiekty i przekształcenia geometryczne, opisane za pomocą układu (nie zawsze prostokątnego) współrzędnych.
xbw
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 78
Rejestracja: 3 mar 2008, o 17:02
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Milky Way
Pomógł: 20 razy

Pole figury opisanej równaniem (zadanko z gwiazdka)

Post autor: xbw »

Mamy takie równanie :
\(\displaystyle{ x ^{2} + y^{2} qslant 2( ft|x \right| + ft|y \right|)}\)

należy tutaj obliczyć pole tej figury, którą równanie wyznacza...

Jedyne co nasuwa mi się to podobieństwo do nierówności koła, lecz nie wiem za bardzo jak z tego cokolwiek wyciągnać.
Awatar użytkownika
Dargi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1228
Rejestracja: 17 lis 2005, o 18:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Pomorze
Podziękował: 54 razy
Pomógł: 253 razy

Pole figury opisanej równaniem (zadanko z gwiazdka)

Post autor: Dargi »

To będzie tak:
Najpierw wyznaczamy miejsca zerowe funkcji:\(\displaystyle{ y=0}\)
\(\displaystyle{ |x|^2=2|x|\iff |x|^2-2|x|=0}\)
Niech \(\displaystyle{ t=|x|}\)
\(\displaystyle{ t^2-2t=0\iff t(t-2)=0\iff t=0\vee t=2\iff x=0\vee x=2\vee x=-2}\)
Znając miejsca zerowe i rozrysowując wszystkie przypadki funkcji dla:
\(\displaystyle{ x>0 \wedge y>0}\)
\(\displaystyle{ x y0 y}\)
xbw
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 78
Rejestracja: 3 mar 2008, o 17:02
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Milky Way
Pomógł: 20 razy

Pole figury opisanej równaniem (zadanko z gwiazdka)

Post autor: xbw »

w odpowiedziach wychodzi \(\displaystyle{ 4pi + 8}\)

btw. nie znam jeszcze całek, więc poproszę o jaśniejsze rozwiązanie oraz wykres "tego czegoś"
btw2. jaki jest poziom tego zadania ? czy to liceum ?
Awatar użytkownika
Dargi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1228
Rejestracja: 17 lis 2005, o 18:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Pomorze
Podziękował: 54 razy
Pomógł: 253 razy

Pole figury opisanej równaniem (zadanko z gwiazdka)

Post autor: Dargi »

Narysuj sobie 4 okręgi które mają swoje środki w punktach:
\(\displaystyle{ (1;1)}\), \(\displaystyle{ (-1;-1)}\),\(\displaystyle{ (-1;1)}\), \(\displaystyle{ (1;-1)}\) o promieniach \(\displaystyle{ r=\sqrt{2}}\)
I szukamy pole czterech wycinków kół które są takie same i dla przykładu okrąg o współrzędnej (1;1) jest ścięty osią x i y i można zauważyć że to pole to:
\(\displaystyle{ S=4(\pi r^2)-8(\frac{\pi r^2-4}{4})=4\pi+8}\)
Hmm ciekawe czemu nie wyszło metodą całkowania:]
soku11
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6607
Rejestracja: 16 sty 2007, o 19:42
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 119 razy
Pomógł: 1823 razy

Pole figury opisanej równaniem (zadanko z gwiazdka)

Post autor: soku11 »

Bo zle jest policzone Tzn. nie zle tylko za malo. Zauwaz, ze majac ta twoja funkcje podcalkowa w podanych granicach nie policzysz calego pola...
Funkcja ta opisuje pole tylko do wartosci 2(gorna granica). Natomiast okrag ma pole nawet do \(\displaystyle{ x=1+\sqrt{2}}\). Najlepiej to widac na wykresie. Aby wynik byl poprawny trzeba by dodac druga calke, ktora by byla w granicach od 2 do \(\displaystyle{ 1+\sqrt{2}}\) po funkcji bedacej roznica funkcji opisujacej gorna krawedz kola - dolna krawedz kola.... POZDRO
Awatar użytkownika
Dargi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1228
Rejestracja: 17 lis 2005, o 18:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Pomorze
Podziękował: 54 razy
Pomógł: 253 razy

Pole figury opisanej równaniem (zadanko z gwiazdka)

Post autor: Dargi »

soku11, a no tak:D A ja liczyłem tak gdzie się przecinają okręgi:D
xbw
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 78
Rejestracja: 3 mar 2008, o 17:02
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Milky Way
Pomógł: 20 razy

Pole figury opisanej równaniem (zadanko z gwiazdka)

Post autor: xbw »

ok, już wszystko jasne.
a tak nawiasem, czy te całki warto by było się nauczyć już w liceum ?
z tego co widzę to nie ma ich w programie nawet w wersji rozszerzonej...
Awatar użytkownika
Dargi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1228
Rejestracja: 17 lis 2005, o 18:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Pomorze
Podziękował: 54 razy
Pomógł: 253 razy

Pole figury opisanej równaniem (zadanko z gwiazdka)

Post autor: Dargi »

xbw, warto Przydatne są w fizyce. (dla mnie).
soku11
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6607
Rejestracja: 16 sty 2007, o 19:42
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 119 razy
Pomógł: 1823 razy

Pole figury opisanej równaniem (zadanko z gwiazdka)

Post autor: soku11 »

xbw, jesli zamierzasz studiowac co bardziej scislego to calki i pochodne musisz miec w jednym palcu W sume na kazdej uczelni calki sa zawsze potrzebne. W fizyce szczegolnie jest mnostwo zastosowan w roznych dziedzinach. Na nich i pochodnych opieraja sie wszystkie prawa (patrz. rownania Maxwella) oraz inne rzeczy (patrz. np. operator nabla, laplasjan, itd).
POZDRO
ODPOWIEDZ