rodzina elips
-
robin5hood
- Użytkownik
- Posty: 1676
- Rejestracja: 2 kwie 2007, o 14:43
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: warszawa
- Podziękował: 178 razy
- Pomógł: 17 razy
rodzina elips
Dana jest rodzina elips \(\displaystyle{ \frac{x^2}{2a^2}+\frac{y^2}{a^2}=1}\), gdzie \(\displaystyle{ a>0}\). Z punktu \(\displaystyle{ P(8,4)}\) prowadzimy styczną do każdej elipsy należącej do tej rodziny. Wyznacz współrzędne geometryczne (zbiór punktów styczności)
-
schmude
- Użytkownik
- Posty: 119
- Rejestracja: 29 lis 2007, o 23:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 6 razy
rodzina elips
\(\displaystyle{ \frac{x^2}{2a^2}+ \frac{y^2}{a^2} =1 x^2+2y^2-2a^2=0}\)
Niech prosta styczna do danej elipsy będzie opisana równaniem \(\displaystyle{ y=mx+n}\)
Wówczas mamy \(\displaystyle{ x^2+2(mx+n)^2-2a^2=0}\)
\(\displaystyle{ x^2+2m^2x^2+4mnx+2n^2-2a^2=0}\)
\(\displaystyle{ x^2(1+2m^2)+x(4mn)+2(n^2-a^2)=0}\)
Jako że prosta ma być styczna do elipsy, to powyższe równanie musi posiadać dokładnie jedno rozwiązanie, tzn \(\displaystyle{ \Delta=0}\)
\(\displaystyle{ \Delta=16m^2n^2-8(1+2m^2)(n^2-a^2)=16m^2n^2-8n^2+8a^2-16m^2n^2+16m^2a^2=8(2m^2a^2+a^2-n^2)}\)
Korzystając z faktu, że punkt \(\displaystyle{ P (8,4)}\) leży na prostej stycznej, otrzymujemy
\(\displaystyle{ 8=4m+n n=4(2-m)}\)
Wobec tego
\(\displaystyle{ \Delta=8(2m^2a^2+a^2-(4(2-m))^2)=8(2m^2a^2+a^2-64+64m-16m^2)}\)
Teraz należy rozwiązać równanie kwadratowe
\(\displaystyle{ m^2(2+a^2-16)+m(64)+a^2-64}\)
Jak obliczysz m, to n też policzysz i będziesz miał 2 równania prostych stycznych. To co otrzymasz wstawisz do równania elipsy i będziesz miał szukane punkty
Niech prosta styczna do danej elipsy będzie opisana równaniem \(\displaystyle{ y=mx+n}\)
Wówczas mamy \(\displaystyle{ x^2+2(mx+n)^2-2a^2=0}\)
\(\displaystyle{ x^2+2m^2x^2+4mnx+2n^2-2a^2=0}\)
\(\displaystyle{ x^2(1+2m^2)+x(4mn)+2(n^2-a^2)=0}\)
Jako że prosta ma być styczna do elipsy, to powyższe równanie musi posiadać dokładnie jedno rozwiązanie, tzn \(\displaystyle{ \Delta=0}\)
\(\displaystyle{ \Delta=16m^2n^2-8(1+2m^2)(n^2-a^2)=16m^2n^2-8n^2+8a^2-16m^2n^2+16m^2a^2=8(2m^2a^2+a^2-n^2)}\)
Korzystając z faktu, że punkt \(\displaystyle{ P (8,4)}\) leży na prostej stycznej, otrzymujemy
\(\displaystyle{ 8=4m+n n=4(2-m)}\)
Wobec tego
\(\displaystyle{ \Delta=8(2m^2a^2+a^2-(4(2-m))^2)=8(2m^2a^2+a^2-64+64m-16m^2)}\)
Teraz należy rozwiązać równanie kwadratowe
\(\displaystyle{ m^2(2+a^2-16)+m(64)+a^2-64}\)
Jak obliczysz m, to n też policzysz i będziesz miał 2 równania prostych stycznych. To co otrzymasz wstawisz do równania elipsy i będziesz miał szukane punkty