Równanie płaszczyzny
-
foxik113
- Użytkownik
- Posty: 24
- Rejestracja: 24 cze 2008, o 16:45
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 11 razy
Równanie płaszczyzny
Napisz równanie ogólne płaszczyzny pi równoległej do prostej x=y=z i przechodzącej przez punkty (1,0,0), (0,0,1)
-
Crizz
- Użytkownik
- Posty: 4094
- Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 805 razy
Równanie płaszczyzny
Niech \(\displaystyle{ Ax+By+Cz+D=0}\) będzie szukaną płaszczyzną. Skoro ma ona być równoległa do prostej x=y=z, to wektor normalny tej płaszczyzny (np. \(\displaystyle{ [A,B,C]}\)) musi być równoległy do dowolnego wektora tej prostej (np. \(\displaystyle{ [1,1,1]}\)), co oznacza, że iloczyn skalarny tych dwóch wektorów jest równy zero. Stąd mamy \(\displaystyle{ A+B+C=0}\).
Ponadto płaszczyzna zawiera punkty \(\displaystyle{ (1,0,0),(0,0,1)}\), skąd:
\(\displaystyle{ A+D=0,C+D=0}\).
Mamy układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} A+B+C=0 \\ A+D=0 \\ C+D=0 \end{cases}}\),
najłatwiej teraz wyrazić wszystkie współczynniki A,B,C przy pomocy D:
\(\displaystyle{ C=-D,A=-D,B=2D}\).
Ostatecznie szukane równanie ma postać \(\displaystyle{ -Dx+2Dy-Dz+D=0}\) (D może być dowolne), czyli np. \(\displaystyle{ -x+2y-z+1=0}\) jest równaniem szukanej płaszczyzny.
Ponadto płaszczyzna zawiera punkty \(\displaystyle{ (1,0,0),(0,0,1)}\), skąd:
\(\displaystyle{ A+D=0,C+D=0}\).
Mamy układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} A+B+C=0 \\ A+D=0 \\ C+D=0 \end{cases}}\),
najłatwiej teraz wyrazić wszystkie współczynniki A,B,C przy pomocy D:
\(\displaystyle{ C=-D,A=-D,B=2D}\).
Ostatecznie szukane równanie ma postać \(\displaystyle{ -Dx+2Dy-Dz+D=0}\) (D może być dowolne), czyli np. \(\displaystyle{ -x+2y-z+1=0}\) jest równaniem szukanej płaszczyzny.