Trapez i układ...

[Finarfin]

Mam takie oto zadanko:
Dane sa wierzchołki A(−3, 2), C(4, 2), D(0, 4) trapezu równoramiennego ABCD, w którym
AB||CD. Wyznaczyc współrzedne wierzchołka B oraz pole trapezu. Sporzadzic
rysunek.

Rysunek to sprawa dość prosta. Następnie wyliczam sobie B i jeśli nie walnąłem gafy to ma on współrzędne B(1,0). A jak radzicie obliczyć pole tego trapezu? Coś kombinuję, ale jakoś bez sukcesu...dawno temu to było, a ja nie mam zielonego pojęcia I aby to miało jakiś ładny matematyczny wygląd, a nie takie liczenie na przysłowiowego "chama"

[Tristan]

Znalazłem analogiczne zadanko, i chciałem te tu Twoje rozwiązać tak jak tamo, lecz przy Twoim wciąż gdzieś się myliłem w obliczeniach, dlatego po prostu przedstawię tamto zadanie i rozwiązanie:) co na pewno będzie pomocne przy rozwiązaniu tego.

Dane są punkty A(-1,4), B(5,-2), C(7,3). Wyznacz taki punkt D, aby czworokąt ABCD był trapezem równoramiennym, a odcinek AB był jego podstawą. Oblicz pole trapezu.

Trapez równoramienny ma oś symetrii, która jest symetralną obu podstaw. Wyznaczymy kolejno: współczynnik kierunkowy prostej AB, środek S odcinka AB, równanie prostej ST (osi symetrii trapezu), która jest prostopadła do AB i przechodzi przez S, równanie prostej CD ( prostopadłem do ST i przechodzącej przez C), punkt T, który jest punktem wspólnym prostych ST i CD oraz punkt D ze wzoru na środek odcinka CD.

Prosta AB przechodzi przez punkty (-1,4) i (5,-2):
\(\displaystyle{ \left{\begin{array}{l}4=-a+b\\-2=5a+b\end{array}\}\)
\(\displaystyle{ -6=6a\\a=-1}\)

S jest środkiem AB, więc \(\displaystyle{ x_{S}=\frac{1}{2}(-1+5)=2, y_{S}=\frac{1}{2}(4-2)=1}\) czyli S(2,1). Prosta ST jest prostopadła do prostej AB, więc ma współczynnik kierunkowy równy 1 i równanie y=x+b. Przechodzi przez punkt S: 1=2+b czyli b=-1. Równanie osi symetrii trapezu to y=x-1. Prosta CD jest równoległa do AB, więc ma współczynnik kierunkowy -1 i równanie y=-x+b. Przechodzi przez punkt C, więc 3=-7+b czyli b=-10. Równanie prostej CD: y=-x+10.
Wyznaczamy współrzędne punktu T, w którym przecinają się proste ST i CD:
\(\displaystyle{ \left{\begin{array}{l}y=-x+10\\y=x-1 \end{array}\}\)
\(\displaystyle{ -x+10=x+1\\11=2x\\x=5,5 , y=4,5}\)
czyli T(5,5;4,5).
Punkt T jest środkiem CD, czyli \(\displaystyle{ \vec{CD}=2\vec{CT}=[-3,3]}\) i C(7,3), więc D(4,6). Obliczamy pole trapezu ABCD jako sumę pól trójkątów ACD i ABC:
\(\displaystyle{ \vec{AD}=[5,2], \vec{AC}=[8,-1], \vec{AB}=[6,-6]}\)
\(\displaystyle{ P_{ABCD}=\frac{1}{2}|5\cdot(-1)-2\cdot8|+\frac{1}{2}|8\cdot(-6)-(-1)\cdot6|=\frac{21}{2}+21=\frac{63}{2}}\)
Pole trapezu ABCD wynosi więc \(\displaystyle{ \frac{63}{2}}\)

[Finarfin]

Tristan, okazało się pomocne...pole trapezu wychodzi mi

\(\displaystyle{ \sqrt{260}}\)

Fajnie by było gdyby ktoś sprawdził czy to dobra odpowiedź