Równanie parametryczne stycznej do okręgu

[Belhitef]

Dane jest równanie okręgu \(\displaystyle{ x^{2}}\)+\(\displaystyle{ (y-2)^{2}}\) =9. Napisać równanie parametryczne stycznej do tego okręgu przechodzącej przez punkt D (5,0)

Może macie pomysł na rozwiązanie?
Jeśli tak to proszę o rozpisanie kolejnych kroków, żebym umiał powtórzyć

Pozdrawiam

[Elvis]

Okrąg ma środek w O(0; 2). Środek odcinka OD to A(2,5; 1). Punkt styczności leży na przecięciu danego okręgu i okręgu o środku w A i promieniu OD/2. Są dwa takie punkty i dla każdego z nich możemy wyznaczyć równanie odpowiedniej prostej.

[schmude]

Tu Belhitef korzysta z konstrukcji stycznej do okręgu. Jednak podchodząc do sprawy w analityczny sposób, to mamy:

Niech szukane równanie prostej to \(\displaystyle{ y=ax+b}\)

Podstawiając punkt D mamy \(\displaystyle{ 0=5a+b b=-5a}\)

Dalej równanie prostej to \(\displaystyle{ y=ax-5a}\)

Podstawmy to do równania okręgu

\(\displaystyle{ x^2+(ax-5a-2)^2=9 \\ x^2 + a^2x^2+25a^2+4-10a^2x-4ax+20a-9=0\\ x^2(1+a^2)-x(10a^2+4a)+25a^2+20a-5=0}\)

Powyższe równanie ma mieć 1 rozwiązanie - ponieważ prosta styczna ma 1 punkt wspólny z okręgiem, dalej więc \(\displaystyle{ \Delta}\) musi się równać 0.

\(\displaystyle{ \Delta=(10a^2+4a)^2-4(1+a^2)(25a^2+20a-5)=100a^4+80a^3+16a^2-100a^2-80a+20-100a^4-80a^3+20a^2=-64a^2-80a+20=-4(16a^2+20a-5)}\)

Teraz patrzysz kiedy delta się równa 0 - rozwiązujesz powyższe równanie kwadratowe. Oczywiście są dwa rozwiązania.

Mogłem zrobić jakiś błąd rachunkowy, ale tu masz jedną z metod.