Dane jest równanie okręgu \(\displaystyle{ x^{2}}\)+\(\displaystyle{ (y-2)^{2}}\) =9. Napisać równanie parametryczne stycznej do tego okręgu przechodzącej przez punkt D (5,0)
Może macie pomysł na rozwiązanie?
Jeśli tak to proszę o rozpisanie kolejnych kroków, żebym umiał powtórzyć
Pozdrawiam
Równanie parametryczne stycznej do okręgu
- Elvis
- Użytkownik
- Posty: 765
- Rejestracja: 17 paź 2004, o 18:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 89 razy
Równanie parametryczne stycznej do okręgu
Okrąg ma środek w O(0; 2). Środek odcinka OD to A(2,5; 1). Punkt styczności leży na przecięciu danego okręgu i okręgu o środku w A i promieniu OD/2. Są dwa takie punkty i dla każdego z nich możemy wyznaczyć równanie odpowiedniej prostej.
-
- Użytkownik
- Posty: 119
- Rejestracja: 29 lis 2007, o 23:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 6 razy
Równanie parametryczne stycznej do okręgu
Tu Belhitef korzysta z konstrukcji stycznej do okręgu. Jednak podchodząc do sprawy w analityczny sposób, to mamy:
Niech szukane równanie prostej to \(\displaystyle{ y=ax+b}\)
Podstawiając punkt D mamy \(\displaystyle{ 0=5a+b b=-5a}\)
Dalej równanie prostej to \(\displaystyle{ y=ax-5a}\)
Podstawmy to do równania okręgu
\(\displaystyle{ x^2+(ax-5a-2)^2=9 \\ x^2 + a^2x^2+25a^2+4-10a^2x-4ax+20a-9=0\\ x^2(1+a^2)-x(10a^2+4a)+25a^2+20a-5=0}\)
Powyższe równanie ma mieć 1 rozwiązanie - ponieważ prosta styczna ma 1 punkt wspólny z okręgiem, dalej więc \(\displaystyle{ \Delta}\) musi się równać 0.
\(\displaystyle{ \Delta=(10a^2+4a)^2-4(1+a^2)(25a^2+20a-5)=100a^4+80a^3+16a^2-100a^2-80a+20-100a^4-80a^3+20a^2=-64a^2-80a+20=-4(16a^2+20a-5)}\)
Teraz patrzysz kiedy delta się równa 0 - rozwiązujesz powyższe równanie kwadratowe. Oczywiście są dwa rozwiązania.
Mogłem zrobić jakiś błąd rachunkowy, ale tu masz jedną z metod.
Niech szukane równanie prostej to \(\displaystyle{ y=ax+b}\)
Podstawiając punkt D mamy \(\displaystyle{ 0=5a+b b=-5a}\)
Dalej równanie prostej to \(\displaystyle{ y=ax-5a}\)
Podstawmy to do równania okręgu
\(\displaystyle{ x^2+(ax-5a-2)^2=9 \\ x^2 + a^2x^2+25a^2+4-10a^2x-4ax+20a-9=0\\ x^2(1+a^2)-x(10a^2+4a)+25a^2+20a-5=0}\)
Powyższe równanie ma mieć 1 rozwiązanie - ponieważ prosta styczna ma 1 punkt wspólny z okręgiem, dalej więc \(\displaystyle{ \Delta}\) musi się równać 0.
\(\displaystyle{ \Delta=(10a^2+4a)^2-4(1+a^2)(25a^2+20a-5)=100a^4+80a^3+16a^2-100a^2-80a+20-100a^4-80a^3+20a^2=-64a^2-80a+20=-4(16a^2+20a-5)}\)
Teraz patrzysz kiedy delta się równa 0 - rozwiązujesz powyższe równanie kwadratowe. Oczywiście są dwa rozwiązania.
Mogłem zrobić jakiś błąd rachunkowy, ale tu masz jedną z metod.