Obrót o kąt

[Wasilewski]

Jak wykazać wzór na współrzędne punktu obróconego o kąt względem środka układu współrzędnych bez korzystania z funkcji trygonometrycznych dla sumy argumentów?

[Crizz]

Najłatwiej z liczb zespolonych.

Punkt \(\displaystyle{ Z=(x,y)}\) utożsamiamy z liczbą zespoloną \(\displaystyle{ z=x+yi}\). Mnożąc tę liczbę przez liczbę \(\displaystyle{ w=cos\alpha+isin\alpha}\) (czyli przez pewną liczbę zespoloną o module równym 1), otrzymujemy obrót punktu Z o kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) wokół początku układu, przy czym \(\displaystyle{ z'=(x+yi)(cos\alpha+isin\alpha)=(xcos\alpha-ysin\alpha)+i(xsin\alpha+ycos\alpha)}\), czyli \(\displaystyle{ Z'=(xcos\alpha-ysin\alpha, xsin\alpha+ycos\alpha)}\).

[ Dodano: 20 Czerwca 2008, 13:10 ]
Żeby dokończyć uzasadnienie, wystarczy jeszcze wykazać, że rzeczywiście otrzymujemy w ten sposób obrót. Rzeczywiście, moduł otrzymanej liczby się nie zmienia, a \(\displaystyle{ Arg(z w)=Arg(z)+Arg(w)}\).

[Wasilewski]

Wiem, że można z zespolonych, ale przecież żeby udowodnić, że argument iloczynu liczb zespolonych jest równy sumie ich argumentów trzeba właśnie z wspomnianych przeze mnie wzorów skorzystać.