Udowodnij, że objętości są równe

[Intact]

Mam takie zadanie:

Udowodnij, że płaszczyzny styczne do powierzchni: \(\displaystyle{ f(x,y)=\frac{a}{xy}}\) (Zał: \(\displaystyle{ a>0}\)) tworzą z płaszczyznami osi symetrii czworościany o równych objętościach.

[Qń]

Domyślam się, że nie chodzi o żadne osie symetrii, tylko osie układu współrzędnych.

Zgodnie ze wzorem na równanie płaszczyzny stycznej dostajemy, że w punkcie \(\displaystyle{ \left( x_0,y_0, \frac{a}{x_0y_0}\right)}\) równanie płaszczyzny stycznej do tej powierzchni to:
\(\displaystyle{ z - \frac{a}{x_0y_0} = -\frac{a}{x_0^2y_0}(x-x_0) -\frac{a}{x_0y_0^2}(y-y_0)}\)
czyli:
\(\displaystyle{ x\frac{a}{x_0^2y_0}+ y\frac{a}{x_0y_0^2} + z - \frac{3a}{x_0y_0}=0}\)

Ta płaszczyzna przecina osie układu w punktach:
\(\displaystyle{ (3x_0,0,0) \\
(0,3y_0,0) \\
ft( 0,0,\frac{-3a}{x_0y_0}\right)}\)

Stąd objętość czworościanu ograniczonego przez tę płaszczyznę i przez płaszczyzny \(\displaystyle{ OXY,OXZ,OYZ}\) to:
\(\displaystyle{ V=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2} ft| 3x_03y_0\frac{-3a}{x_0y_0}\right| = \frac{9a}{2}}\)
istotnie więc nie zależy ona od punktu styczności.

Q.