Przecinajace sie proste
Przecinajace sie proste
Sprawdz, czy proste \(\displaystyle{ l _{1}:}\)\(\displaystyle{ \frac{x-1}{2}=}\)\(\displaystyle{ \frac{y}{1}=}\)\(\displaystyle{ \frac{z+1}{-1}}\) oraz \(\displaystyle{ l _{2}:}\)\(\displaystyle{ \frac{x}{1}=}\)\(\displaystyle{ \frac{y-1}{2}=}\)\(\displaystyle{ \frac{z+1}{-1}}\) przecinaja sie. Jesli tak, to znajdz rownanie plaszyczyzny, w ktorej leza. Ogolnie to nie chodzi mi o rozwiazanie tylko co zrobic i w jakiej kolejnosci. Z gory dziekuje[/latex]
-
Crizz
- Użytkownik
- Posty: 4094
- Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 805 razy
Przecinajace sie proste
Najpierw zapisujesz równania prostych w postaci parametrycznej:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=2t+1 \\ y=t \\ z=-t-1 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=t \\ y=2t+1 \\ z=-t-1 \end{cases}}\)
Proste mają punkt wspólny jeśli istnieją takie \(\displaystyle{ t_{1},t_{2}}\), że:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2t_{1}+1=t_{2} \\ t_{1}=2t_{2}+1 \\ -t_{1}-1=-t_{2}-1 \end{cases}}\).
W tym wypadku mają, bo układ spełniają liczby \(\displaystyle{ t_{1}=-1,t_{2}=-1}\).
Teraz podstawiasz albo \(\displaystyle{ t_{1}}\) do równania pierwszej prostej, albo \(\displaystyle{ t_{2}}\) do równania drugiej i otrzymujesz punkt wspólny obu prostych. Bierzesz teraz jeden dowolny punkt pierwszej prostej (podstawiasz dowolne t) i jeden dowolny punkt drugiej prostej. Te trzy punkty są niewspółliniowe i wyznaczają szukaną płaszczyznę.
Aby znaleźć równanie tej płaszczyzny, zapisujesz jej równanie w postaci ogólnej: \(\displaystyle{ Ax+By+Cz+D=0}\). Teraz podstawiając do tego równania kolejno współrzędne otrzymanych punktów, otrzymujesz układ trzech równań z czterema niewiadomymi (A,B,C,D). Wystarczy, że znajdziesz jedno z rozwiązań układu. Załóż sobie np., że A=1 i rozwiąż otrzymany układ (gdyby się okazało, że wtedy układ jest sprzeczny to automatycznie przyjmij, że A=0).
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=2t+1 \\ y=t \\ z=-t-1 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=t \\ y=2t+1 \\ z=-t-1 \end{cases}}\)
Proste mają punkt wspólny jeśli istnieją takie \(\displaystyle{ t_{1},t_{2}}\), że:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2t_{1}+1=t_{2} \\ t_{1}=2t_{2}+1 \\ -t_{1}-1=-t_{2}-1 \end{cases}}\).
W tym wypadku mają, bo układ spełniają liczby \(\displaystyle{ t_{1}=-1,t_{2}=-1}\).
Teraz podstawiasz albo \(\displaystyle{ t_{1}}\) do równania pierwszej prostej, albo \(\displaystyle{ t_{2}}\) do równania drugiej i otrzymujesz punkt wspólny obu prostych. Bierzesz teraz jeden dowolny punkt pierwszej prostej (podstawiasz dowolne t) i jeden dowolny punkt drugiej prostej. Te trzy punkty są niewspółliniowe i wyznaczają szukaną płaszczyznę.
Aby znaleźć równanie tej płaszczyzny, zapisujesz jej równanie w postaci ogólnej: \(\displaystyle{ Ax+By+Cz+D=0}\). Teraz podstawiając do tego równania kolejno współrzędne otrzymanych punktów, otrzymujesz układ trzech równań z czterema niewiadomymi (A,B,C,D). Wystarczy, że znajdziesz jedno z rozwiązań układu. Załóż sobie np., że A=1 i rozwiąż otrzymany układ (gdyby się okazało, że wtedy układ jest sprzeczny to automatycznie przyjmij, że A=0).