Płaszczyzna styczna i prosta normalna

[Ambrose]

Elo, mam prośbę - znajdź płaszczyznę styczną i prostą normalną do wykresu funkcji
\(\displaystyle{ f(x,y) = 3x ^{2} + 4 xy ^{3}}\) w punkcie \(\displaystyle{ a=(1,-2)}\)
dzięki za pomoc.

[Qń]

Równanie styczne do powierzchnie \(\displaystyle{ z=f(x,y)}\) w punkcie \(\displaystyle{ P(x_0,y_0)}\) to:
\(\displaystyle{ z-z_0=\frac{ f}{\partial x}(P)\cdot (x-x_0) + \frac{ f}{\partial y}(P)\cdot (y-y_0)}\).
W naszym wypadku mamy:
\(\displaystyle{ P(1,-2)}\) , \(\displaystyle{ z_0=-29}\)
\(\displaystyle{ \frac{ f}{\partial x} = 6x +4y^3 \ , \ \frac{ f}{\partial x}(1,-2) = -26 \\
\frac{ f}{\partial y} = 12xy^2 \ , \ \frac{ f}{\partial y}(1,-2) = 48}\)
czyli równanie płaszczyzny to:
\(\displaystyle{ z+29= -26(x-1)+48(y+2)}\)
czyli
\(\displaystyle{ 26x-48y+z -93 = 0}\)

Wektor normalny do tej płaszczyzny to \(\displaystyle{ [26,-48,1]}\), więc prosta normalna ma równanie:
\(\displaystyle{ s(26,-48,1) + (1,-2,-29)}\)

Q.

[Ambrose]

Wielkie dzięki, matematyka po raz kolejny okazała się łatwa, a mój umysł mały i ograniczony.