czy istnieje przekształcenie?

natkoza · Post autor: **natkoza** » 15 cze 2008, o 15:32

Czy istnieje przekształcenie afiniczne przestzreni afiniczne \(\displaystyle{ \mathbb{R}^3}\) na siebie, które parę prosych skośnych przekształca na parę prostych równoległych? Odpowiedź uzasadnij.
Czy jako uzasadnienie, ze nie istnieje, wysraczy, ze napisze, ze przekształcenie afiniczne zachowuje wzajemne położenie prostych? czy coś wiecej trzeba napisac?

N4RQ5 · Post autor: **N4RQ5** » 15 cze 2008, o 23:01

wystarczy że napiszesz że skoro punkt przecięcia tych prostych należy do każdej z nich to jego obraz musi należeć do obrazu każdej z nich zatem nie mogą być rozłączne.

natkoza · Post autor: **natkoza** » 15 cze 2008, o 23:10

dzięki , tyle, ze chyba proste skośne się nie przecinają

N4RQ5 · Post autor: **N4RQ5** » 21 cze 2008, o 10:52

W sumie masz racje. Myślałem o \(\displaystyle{ \mathbb R^2}\). Przepraszam.

W wyższym wymiarze będzie tak:
Przekształcenie afiniczne f idące z \(\displaystyle{ \mathbb R^3}\) na \(\displaystyle{ \mathbb R^3}\) musi przekształcać bazę przestrzeni na bazę. Zatem jego jądro jest trywialne (składa się tylko z wektora zerowego). Nasze proste mają swoje różne wektory kierunkowe \(\displaystyle{ v_1,v_2}\). Gdyby obrazy prostych były równoległe to obrazy wektorów kierunkowych były by liniowo zależne.
\(\displaystyle{ f(v_1)=af(v_2)}\) Co daje nam \(\displaystyle{ v_1-av_2 ker f=\{0\}}\)
Co oznacza że nasze wyjściowe proste musiały być równoległe.