2 zadania o trojkatach

[byku1989]

zad1.
Proste o rownaniach \(\displaystyle{ 3x-2y+2=0}\) i \(\displaystyle{ x-y+2=0}\) zawieraja 2 boki pewnego trojkata, a prosta o rownaniu \(\displaystyle{ 2x-y-1=0}\) zawiera jedna z jego srodkowych. Znajdz rownanie prostej zawierajacej trzeci bok trojkata.

zad2.
dane sa punkty \(\displaystyle{ A=(1;-1)}\) i \(\displaystyle{ B=(3;3)}\) oraz prosta \(\displaystyle{ k}\) o rownaniu \(\displaystyle{ y=x+3}\). Wyznacz na prostej \(\displaystyle{ k}\) taki punkt \(\displaystyle{ C}\), aby pole trojkata \(\displaystyle{ ABC}\) bylo rowne \(\displaystyle{ 6}\).

[Justka]

2.
Sposób trochę pokręcony, ale jest

Z zadania wiemy, ze pole trójkata ABC wynosi 6, zatem:
\(\displaystyle{ P=\frac{1}{2}|AB|h |AB|=\sqrt{(3-1)^2+(3+1)^2}=2\sqrt{5} \\
6=\frac{1}{2} 2\sqrt{5} h h=\frac{6\sqrt{5}}{5}}\)
Przymijmy, że h=|CD| (gdzie D miejsce przecięcia sie wysokości z podstawą AB). Ponadto wiemy, że:
\(\displaystyle{ D |AB| \iff |AB| W_ {f(x)=2x-3} \\
C W_{g(x)=x+3}}\)
oraz, że punkty te lezą na jednej prostej do której nalezy odcinek CD (prosta prostopadła do odcinka AB)
\(\displaystyle{ h(x) \perp f(x) h(x)=-\frac{1}{2}x + Z}\)
Wykorzystujac to mamy:
\(\displaystyle{ C=(a, a+3) C=(a, -\frac{1}{2}a+Z)\\
D=(b, 2b-3) D=(b, -\frac{1}{2}b+Z)}\)
Czyli:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a+3=-\frac{1}{2}a+Z \\ 2b-3=-\frac{1}{2}b+Z \end{cases}}\)
Po przekształceniach \(\displaystyle{ 5b-3a=12 \iff a=\frac{5}{3}b-4}\). Odcinek |CD| ma długoś równą
\(\displaystyle{ h=|CD|=\frac{6\sqrt{5}}{5}=\sqrt{(a-b)^2+(a-2b+6)^2}\)
Podstawiamy wartośc a i po krótkich przekształceniach dochodzimy do równania kwadratowego:
\(\displaystyle{ -25b^2+300b-576=0\\
\sqrt{\Delta}=180\\
b=\frac{12}{5} b=\frac{48}{5}}\)
Więc:
\(\displaystyle{ a=0 a=12}\)
Zatem współrzedne punktu C to:
\(\displaystyle{ C=(a,a+3)\\
C=(0,3) C=(12,15)}\)

[robert9000]

byku1989 19 lat, więc powinieneś kojarzyć wzór na pole trójkąta:

\(\displaystyle{ P_{ABC}= \frac{1}{2} ft| ft|\begin{array}{ccc}a&b\\ c&d\end{array}\right| \right|}\)

gdzie:
\(\displaystyle{ \vec{CA} =[a.b] \\
\vec{CB} =[c,d]}\)

(zadanie 2)