Napisac równanie płaszczyzny

[pawel23R]

Napisać równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty A, B, C i obliczyć odległość punktu P(0,0,0) od tej płaszczyzny A(5,0,0), B(0,3,0), C(0,0,4).

[natkoza]

niech \(\displaystyle{ M=(x,y,z)}\) oznacza dowolny(zmienny) punkt szukanej płaszczyzny \(\displaystyle{ Q}\). Wektory
\(\displaystyle{ \overrightarrow{AM}=[x-5,y-0,z-0]\\
\overrightarrow{BM}=[x-0,y-3,z-0]\\
\overrightarrow{CM}=[x-0,y-0,z-4]}\)
są wektorami współpłaszczyznowymi, więc jest spełniony warunek:
\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{ccc}x-5&y&z\\x&y-3&z\\z&y&z-3\end{array}\right|=0}\)
po rozwinięciu wyznacznika otrzymamy szukane równanie płaszczyzny w postaci ogólnej:
\(\displaystyle{ Ax+By+Cz+D=0}\)
odległośc punktu od tej płaszczyzny obliczysz ze wzoru: \(\displaystyle{ d(P,Q)=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{A^2+B^2+C^2}}\)