znajdź równanie prostej

[Monikaa]

Znajdź równanie prostej równoległej do prostej o równaniu 3x+4y+1+0 i stycznej do okręgu o równaniu \(\displaystyle{ x^2+y^2-4x-2y+4=0}\)

[kujdak]

tak to wygląda.

\(\displaystyle{ S=(2;1) \ r=1\\}\)
Proste prostopadłe do danej prostej wyglądają tak:
\(\displaystyle{ y=\frac{-3}{4}x+b\\
3x+4y-4b=0\\
4b=C}\)
odległość od środka okręgu do prostych stycznych jest taka sama.
\(\displaystyle{ r=\frac{|Ax+By+C|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}\\
1=\frac{|6+4-4b|}{9+16}\\
5=|10-4b|\\
5=10-4b -5=10-4b\\
b_{1}=\frac{5}{4}=C b_{2}=\frac{15}{4}=C\\}\)
Więc odp.
\(\displaystyle{ 3x+4y+\frac{5}{4}\\
3x+4y+\frac{15}{4}}\)

[JankoS]

Znajdź równanie prostej równoległej do prostej o równaniu 3x+4y+1+0 i stycznej do okręgu o równaniu \(\displaystyle{ x^2+y^2-4x-2y+4=0}\)

Albo tak,
\(\displaystyle{ x^2+y^2-4x-2y+4=(x-2) ^{2}+(y-1) ^{2}=1 ^{2}.}\)
Szukana prosta jest równoległa do danej, więc ma równanie \(\displaystyle{ (*) \ 3x+4y+C=0}\) i jest odległa o 1 od punktu (2,1), czyli \(\displaystyle{ (**) \ \frac{|3 2+4 1+C|}{ \sqrt{3^2+4^2}}=1.}\) Rozwiązujemy (**) i podstawiamy do (*). Będą dwa rozwiązaniia.