trojkat i krzywe

[mol_ksiazkowy]

Znalezc odleglosc środka ciezkosci trójkata, ktorego wierzcholkami sa ogniska krzywych:
\(\displaystyle{ \frac{x^2}{25}+ \frac{y^2}{16}=1, \ y=\frac{x^2}{12}}\) od
asymptot hiperboli danej wzorem
\(\displaystyle{ 9x^2-16y^2=144}\)
Podaj ilustracje graficzna, tj rysunek punkty i krzywe

[Szemek]

krzywa o równaniu \(\displaystyle{ \frac{x^2}{25}+ \frac{y^2}{16}=1}\) jest elipsą o środku S(0,0)

ogniska elipsy \(\displaystyle{ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1}\) znajdują się w punktach:
\(\displaystyle{ \begin{array}{l} F_1(-c,0) \\ F_2(c,0) \end{array} \quad \hbox{gdzie } c^2=a^2-b^2}\)

\(\displaystyle{ c^2=25-16 \\
c^2=9 \\
c=-3 c=3}\)
\(\displaystyle{ F_1(-3,0) \ \ F_2(3,0)}\)

krzywa o równaniu \(\displaystyle{ y=\frac{x^2}{12}}\) jest parabolą

ognisko paraboli \(\displaystyle{ y=ax^2}\) znajduje się w punkcie \(\displaystyle{ F(0,\frac{1}{4a})}\)

\(\displaystyle{ F(0,3)}\)

Są już wszystkie wierzchołki trójkąta: \(\displaystyle{ F(0,3),F_1(-3,0),F_2(3,0)}\)
Środek ciężkości ma współrzędne:
\(\displaystyle{ S\left(\frac{0+(-3)+3}{3},\frac{3+0+0}{3}\right) \\
\boxed{\boxed{S(0,1)}}}\)


\(\displaystyle{ 9x^2-16y^2=144 \\
\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1 \\
\frac{x^2}{4^2}-\frac{y^2}{3^2}=1}\)

równania asymptot hiperboli \(\displaystyle{ \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1}\) mają postać:
\(\displaystyle{ \begin{array}{l} m:y=\frac{b}{a}x \\ n:y=-\frac{b}{a}x \end{array}}\)

\(\displaystyle{ m:y=\frac{3}{4}x \quad n:y=-\frac{3}{4}x \\
m:\frac{3}{4}x-y=0 \quad n:\frac{3}{4}x+y=0}\)

\(\displaystyle{ d(S,m)=\frac{|\frac{3}{4} 0 + (-1) 1|}{\sqrt{(\frac{3}{4})^2+(-1)^2}} \\
d(S,m)=\frac{4}{5}}\)
\(\displaystyle{ d(S,n)=\frac{|\frac{3}{4} 0 + 1 1|}{\sqrt{(\frac{3}{4})^2+1^2}} \\
d(S,m)=\frac{4}{5}}\)

Odpowiedź:
Odległość środka ciężkości tego trójkąta od asymptot paraboli wynosi \(\displaystyle{ \frac{4}{5}}\)