Jak udowodnić, że dwa wzory:
1) \(\displaystyle{ \vec r\circ \vec s=|r||s|\cos\angle\left(\vec r, \vec s\right)}\), gdy r,s≠0
2) \(\displaystyle{ \vec r\circ \vec s=r_xs_x+r_ys_y+r_zs_z}\)
są równoważne?
Oczywiście interesuje mnie przypadek trójwymiarowy. W płaszczyźnie nie mam problemów, ale jak to wykazać w przestrzeni x,y,z?
Iloczyn skalarny wektorów
-
Wasilewski
- Użytkownik
- Posty: 3921
- Rejestracja: 10 gru 2007, o 20:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 36 razy
- Pomógł: 1194 razy
Iloczyn skalarny wektorów
Zdaje się, że identycznie jak na płaszczyźnie. Też bierzesz dowolne dwa wektory \(\displaystyle{ \vec{a}}\) i \(\displaystyle{ \vec{b}}\) i zaczepiasz w tym samym punkcie. Definiujesz wektor:
\(\displaystyle{ \vec{c} = \vec{a} - \vec{b}}\)
Mnożysz obie strony skalarnie przez:
\(\displaystyle{ \vec{c} \circ \vec{c} = (\vec{a} - \vec{b})\circ (\vec{a} - \vec{b})}\)
Z definicji (czyli drugiego wzoru) możesz sobie udowodnić, że iloczyn skalarny jest rozdzielny względem dodawania i odejmowania i że:
\(\displaystyle{ \vec{v} \circ \vec{v} = |v|^2}\)
Otrzymujemy zatem:
\(\displaystyle{ |c|^2 = |a|^2 - 2 \vec{a} \circ \vec{b} + |b|^2}\)
I pewnie wiesz, co dalej.
\(\displaystyle{ \vec{c} = \vec{a} - \vec{b}}\)
Mnożysz obie strony skalarnie przez:
\(\displaystyle{ \vec{c} \circ \vec{c} = (\vec{a} - \vec{b})\circ (\vec{a} - \vec{b})}\)
Z definicji (czyli drugiego wzoru) możesz sobie udowodnić, że iloczyn skalarny jest rozdzielny względem dodawania i odejmowania i że:
\(\displaystyle{ \vec{v} \circ \vec{v} = |v|^2}\)
Otrzymujemy zatem:
\(\displaystyle{ |c|^2 = |a|^2 - 2 \vec{a} \circ \vec{b} + |b|^2}\)
I pewnie wiesz, co dalej.