Okrąg wpisany w trapez

[Mathias666]

1) Podstawy trapezu prostokątnego mają długość 1 cm i 3 cm. Oblicz długości ramion trapezu, jeśli można w niego wpisać okrąg.

2) W trapez o kątach ostrych 30 i 60 stopni wpisano okrąg o r= 1 cm. Oblicz długości podstaw tego trapezu.

[Wicio]

\(\displaystyle{ x= a-b =2}\) - jest to kawałek dłuższej podstawy
c-wysokość
d-ramię drugie

Można wpisać okrąg więc:
\(\displaystyle{ a+b=c+d}\)
\(\displaystyle{ 4=c+d}\)
\(\displaystyle{ c=4-d}\)

z pitagorasa w trójkącie utworzonego przez wysokość, x i d
\(\displaystyle{ x ^{2} + c ^{2} =d ^{2}}\)
\(\displaystyle{ 4+(4-d) ^{2} =d ^{2}}\)

Wyznacz d , potem jak będziesz miał d to możesz obliczyć c i koniec

[mmoonniiaa]

Chyba \(\displaystyle{ x=a-b=2}\), bo przecież jest to trapez prostokątny.

[Wicio]

Fakt , przepraszam, już poprawiam

[Mathias666]

Dzięki wszystkim !

[mmoonniiaa]

2.
a - krótsza podstawa
b - dłuższa podstawa
h=2r=2 - wysokość trapezu
x - ramię trapezu przy kącie 30 st.
y - ramię trapezu przy kącie 60 st.
c - kawałek dłuższej podstawy przy kącie 30 st.
d - kawałek dłuższej podstawy przy kącie 60 st.
\(\displaystyle{ sin30^o= \frac{2}{x}
\\
\frac{2}{x} = \frac{1}{2}
\\
x=4
\\
sin60^o= \frac{2}{y}
\\
\frac{2}{y} = \frac{ \sqrt{3} }{2}
\\
y= \frac{4 \sqrt{3} }{3}}\)
W trapez można wpisać okrąg\(\displaystyle{ \Leftrightarrow a+b=x+y=4+\frac{4 \sqrt{3} }{3}}\)
\(\displaystyle{ b=4+\frac{4 \sqrt{3} }{3}-a
\\
a+c+d=4+\frac{4 \sqrt{3} }{3} -a
\\
2a=4+\frac{4 \sqrt{3} }{3} -c-d
\\
tg30^o= \frac{2}{c}
\\
\frac{2}{c}= \frac{ \sqrt{3} }{3}
\\
c=2 \sqrt{3}
\\
tg60^o= \frac{2}{d}
\\
\frac{2}{d}= \sqrt{3}
\\
d= \frac{2 \sqrt{3} }{3}
\\
2a=4+\frac{4 \sqrt{3} }{3} - 2 \sqrt{3}-\frac{2 \sqrt{3} }{3}
\\
a=2- \frac{2 \sqrt{3} }{3}
\\
b=2 \sqrt{3}+2}\)

[kasia5]

Trapez równoramienny o podstawach dł. a i b opisany jest na okręgu. Oblicz pole koła,którego brzegiem jest okrąg wpisany w ten trapez.

[mmoonniiaa]

a - krótsza podstawa trapezu
b - dłuższa podstawa trapezu
x - ramię trapezu
r - promień okręgu wpisanego w trapez
w trapez można wpisać okrąg\(\displaystyle{ \Leftrightarrow 2x=a+b x= \frac{a+b}{2}}\)
fragment dłuższej podstawy trapezu: \(\displaystyle{ \frac{b-a}{2}}\)
Zauważ trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości: \(\displaystyle{ 2r}\), \(\displaystyle{ \frac{b-a}{2}}\) i przeciwprostokątnej długości:\(\displaystyle{ \frac{a+b}{2}}\)
Z twierdzenia Pitagorasa obliczysz \(\displaystyle{ r^2 = \frac{ab}{4}}\)
\(\displaystyle{ P=\pi r^2= \frac{\pi ab}{4}}\)