Znajdź równanie prostej

[Mathias666]

Polecenie:
Znajdź równanie prostej równoległej do prostej o równaniu \(\displaystyle{ 3x + 4y +1 = 0}\) i stycznej do okrędu o równaniu \(\displaystyle{ x^{2} + y^{2} - 4x - 2y + 4 = 0}\)

Doszedłem do tego:
rówanie prostej:
\(\displaystyle{ 3x + 4y +1 = 0}\)
\(\displaystyle{ -4y = -3x -1}\)
\(\displaystyle{ y = - \frac{3}{4}x - \frac{1}{4}}\)

rówanie okręgu:
\(\displaystyle{ x^{2} + y^{2} - 4x - 2y + 4 = 0}\)
\(\displaystyle{ (x - 2)^{2} - 4 + (y - 1)^{2} - 1 + 4 = 0}\)
\(\displaystyle{ (x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} = 1}\)

\(\displaystyle{ S = (2, 1)}\)
\(\displaystyle{ r = 1}\)

Co dalej?

[Wicio]

Po pierwsze źle wyznaczyłeś to równanie prostej:
\(\displaystyle{ y = \frac{3}{4}x + \frac{1}{4}}\) a równoległa do niej to:

\(\displaystyle{ y = \frac{3}{4}x +b}\)

Zauważ , że jak podstawisz równanie danej prostej \(\displaystyle{ y = \frac{3}{4}x + \frac{1}{4}}\) do równania okręgu to okaże się że ta prosta przecina okrąg. Więc jak znajdziesz punkty przecięcia prostej z okręgiem( załużmy pkt. A i B to wyznacz równanie prostej przechodzącej przez środek AB i prostopadłej do prostej danej w zadaniu.

Jak będziesz miał te równanie prostej to podstaw ją do równania okręgu i otrzymasz punkt przecięcia okręgu z prostą- bedzie to punkt należący również do prostej szukanej w zadaniu. Wtedy ten punkt podstawiasz do szukanej prostej:
\(\displaystyle{ y = \frac{3}{4}x +b}\) i obliczasz b i gotowe

[M Ciesielski]

należy zatem znaleść równanie prostek prostopadłej do danej, odległej od punktu S o długość promienia r - ze wzoru na odległość punktu od prostej

[ Dodano: 17 Maj 2008, 23:41 ]

\(\displaystyle{ y = \frac{3}{4}x + \frac{1}{4}}\) a równoległa do niej to:

\(\displaystyle{ y = - \frac{3}{4}x +b}\)

że co proszę? jeśli jest równoległa, to ma taki sam współczynnik kierunkowy, a u Ciebie jest liczbą przeciwną.

[Wicio]

Wiem, przepraszam nie wiem z jakiej paczki mi minus wskoczył- moze dlatego, ze kopiowąłem błędny zapis Mathiasa

[meninio]

\(\displaystyle{ 3x+4y+1=0 y=- \frac{3}{4} x- \frac{1}{4}}\)

Równoległa do nie ma równanie: \(\displaystyle{ y= -\frac{3}{4}x+b}\)

Ta prosta ma byc styczna do okręgu, więc poniższy układ równań powinien mieć dokładnie jedno rozwiązanie (geometrycznie to jest jeden punkt wspólny prostej i okręgu) :
\(\displaystyle{ \begin{cases} y= -\frac{3}{4}x+b \\ (x-2)^2+(y-1)^2= 1\end{cases}}\)

Podstawiamy pierwsze do drugiego i mamy:
\(\displaystyle{ x^2-4x+4+ \frac{9}{16} x^2+b^2+1-2* \frac{3}{4}xb-2*b*1+2* \frac{3}{4}x*1=1 \\
\frac{25}{16} x^2-( \frac{5}{2}+ \frac{3}{2}b)x+b^2-2b+4=0}\)

Dostaliśmy równanie kwadratowe. Aby miało jedno rozwiązanie delta musi być równa zero:
\(\displaystyle{ \Delta= ft( \frac{5}{2} + \frac{3}{2}b \right) ^2-4* \frac{25}{16} ft( b^2-2b+4\right)=0 \\ \frac{25}{4}+ \frac{30}{4}b+ \frac{9}{4}b^2- \frac{25}{4}b^2+ \frac{50}{4}b -25=0 \\ -16b^2+80b-75=0 \\ 16b^2-80b+75=0 \\ \sqrt{\Delta}=40 \\ b_1= \frac{5}{4} b_2= \frac{15}{4}}\)

Czyli mamy dwie proste styczne do okręgu i równoległe do zadanej prostej:
\(\displaystyle{ y=- \frac{3}{4}x+ \frac{5}{4} y=- \frac{3}{4}x+ \frac{15}{4}}\)

Pozdro