okrąg opisany na trójkącie, układ współrzędnych
-
Minority
- Użytkownik
- Posty: 111
- Rejestracja: 16 wrz 2007, o 17:45
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Chrzanów
- Podziękował: 14 razy
- Pomógł: 1 raz
okrąg opisany na trójkącie, układ współrzędnych
Dane są punkty \(\displaystyle{ A(-1,-2)}\) i \(\displaystyle{ B(5,-2)}\). Odcinek \(\displaystyle{ AB}\) jest podstawą trójkąta równoramiennego. Okrąg opisany na tym trójkącie ma promień równy 5. Wyznacz współrzędne wierzchołka \(\displaystyle{ C}\).
-
Crizz
- Użytkownik
- Posty: 4094
- Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 805 razy
okrąg opisany na trójkącie, układ współrzędnych
Środek odcinka AB: \(\displaystyle{ S=(2,-2)}\)
Skoro trójkąt jest równoramienny, to zarówno środek okręgu, jak i punkt C leżą na prostej prostopadłej do AB, przechodzącej przez S. Ta prosta ma równanie \(\displaystyle{ x=2}\), bo AB jest równoległy do osi OX.
Środek okręgu \(\displaystyle{ O=(a,b)}\) jest odległy o 5 od punktu A oraz należy do prostej \(\displaystyle{ x=2}\), zatem
\(\displaystyle{ \begin{cases} (a+1)^{2}+(b+2)^{2}=25 \\ a=2 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ a=2,b=2 b=-6}\). Punkt C leży o 5 jednostek "wyżej" lub "niżej" niż środek okręgu, więc w pierwszym przypadku \(\displaystyle{ C=(2,7) C=(2,-3)}\), w drugim przypadku \(\displaystyle{ C=(2,-1) C=(2,-11)}\) (okrąg może miec dwa środki, a dla każdego środka otrzymaliśmy dwa punkty C).
Skoro trójkąt jest równoramienny, to zarówno środek okręgu, jak i punkt C leżą na prostej prostopadłej do AB, przechodzącej przez S. Ta prosta ma równanie \(\displaystyle{ x=2}\), bo AB jest równoległy do osi OX.
Środek okręgu \(\displaystyle{ O=(a,b)}\) jest odległy o 5 od punktu A oraz należy do prostej \(\displaystyle{ x=2}\), zatem
\(\displaystyle{ \begin{cases} (a+1)^{2}+(b+2)^{2}=25 \\ a=2 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ a=2,b=2 b=-6}\). Punkt C leży o 5 jednostek "wyżej" lub "niżej" niż środek okręgu, więc w pierwszym przypadku \(\displaystyle{ C=(2,7) C=(2,-3)}\), w drugim przypadku \(\displaystyle{ C=(2,-1) C=(2,-11)}\) (okrąg może miec dwa środki, a dla każdego środka otrzymaliśmy dwa punkty C).