Kwadrat + okrąg

Obiekty i przekształcenia geometryczne, opisane za pomocą układu (nie zawsze prostokątnego) współrzędnych.
Xfly
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 174
Rejestracja: 13 mar 2006, o 20:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Nowogard
Podziękował: 33 razy
Pomógł: 10 razy

Kwadrat + okrąg

Post autor: Xfly »

W prostej o równaniu \(\displaystyle{ 2x+y-6=0}\) zawiera się bok kwadratu opisanego na okręgu o równaniu \(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}-2y-4=0}\). Oblicz współrzędne wierzchołków tego kwadratu.
Awatar użytkownika
Szemek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4819
Rejestracja: 10 paź 2006, o 23:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 43 razy
Pomógł: 1407 razy

Kwadrat + okrąg

Post autor: Szemek »

\(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}-2y-4=0 \\
x^2+(y-1)^2=5 \\
S(0,1) \quad r=\sqrt{5}}\)


Jeżeli w prostej 2x+y-6=0 zawiera się bok kwadratu opisanego na okręgu to ta prosta jest styczna do tego okręgu.
Rozwiązując układ:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x+y-6=0 \\ x^{2}+y^{2}-2y-4=0 \end{cases}}\)
obliczymy współrzędne punktu styczności \(\displaystyle{ M(x_m,y_m)}\)

Rozwiązując układ:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x+y-6=0 \\ (x-x_m)^2+(y-y_m)^2=5 \end{cases}}\)
obliczymy współrzędne dwóch wierzchołków.

Współrzędne pozostałych dwóch wierzchołków obliczymy z tego, że S - środek okręgu jest również środkiem obu przekątnych.
Awatar użytkownika
klaustrofob
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1984
Rejestracja: 11 lis 2007, o 07:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: inowrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 607 razy

Kwadrat + okrąg

Post autor: klaustrofob »

wyznacz punkty przecięcia prostej i okręgu - niech będą to A i B, masz już dwa wierzchołki. wyznacz wektor AB - niech będzie to [p,q]. prostopadły do niego o tej samej długości ma postać [-q,p] lub [q,-p]. zaczep je w A - otrzymasz punkty A' i A'' - sprawdź, który z nich leży na okręgu. zaczep je w B i tak samo sprawdź. masz już wszystkie wierzchołki.

o - lepsze rozwiązanie powyżej.
Darkside
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 2 lut 2011, o 18:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Podlasie

Kwadrat + okrąg

Post autor: Darkside »

Szemek pisze:\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x+y-6=0 \\ (x-x_m)^2+(y-y_m)^2=5 \end{cases}}\)
obliczymy współrzędne dwóch wierzchołków.
Może mi ktoś wyjaśnić skąd to się bierze?
Crizz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4094
Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 805 razy

Kwadrat + okrąg

Post autor: Crizz »

Pierwsze równanie to chyba wiadomo.

Drugie równanie wynika stąd, że bok kwadratu opisanego na okręgu ma długość średnicy tego okręgu. Odległość szukanych wierzchołków od punktu styczności wynosi \(\displaystyle{ r=\sqrt{5}}\) (bo punkt styczności dzieli bok kwadratu na pół), zatem kwadrat tej odległości to \(\displaystyle{ 5}\).
Darkside
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 2 lut 2011, o 18:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Podlasie

Kwadrat + okrąg

Post autor: Darkside »

Ok.Dzięki.
xenoneq_o0
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 21
Rejestracja: 21 maja 2022, o 15:03
Płeć: Mężczyzna
wiek: 18
Podziękował: 3 razy

Re: Kwadrat + okrąg

Post autor: xenoneq_o0 »

Szemek pisze: 10 maja 2008, o 22:52 \(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}-2y-4=0 \\
x^2+(y-1)^2=5 \\
S(0,1) \quad r=\sqrt{5}}\)


Jeżeli w prostej 2x+y-6=0 zawiera się bok kwadratu opisanego na okręgu to ta prosta jest styczna do tego okręgu.
Rozwiązując układ:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x+y-6=0 \\ x^{2}+y^{2}-2y-4=0 \end{cases}}\)
obliczymy współrzędne punktu styczności \(\displaystyle{ M(x_m,y_m)}\)

Rozwiązując układ:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x+y-6=0 \\ (x-x_m)^2+(y-y_m)^2=5 \end{cases}}\)
obliczymy współrzędne dwóch wierzchołków.

Współrzędne pozostałych dwóch wierzchołków obliczymy z tego, że S - środek okręgu jest również środkiem obu przekątnych.
Nie wiem za bardzo jak wyznaczyć pozostałe wierzchołki korzystając z przekątnych
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34128
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Kwadrat + okrąg

Post autor: Jan Kraszewski »

A zrobiłeś rysunek?

JK
ODPOWIEDZ