wyznaczyć prostą
wyznaczyć prostą
Zbadać czy prosta \(\displaystyle{ L_{1}}\)\(\displaystyle{ \subset}\)\(\displaystyle{ R^{3}}\) wyznaczona przez \(\displaystyle{ a_{1}}\)=(0,1,2) i \(\displaystyle{ b_{1}}\)=(1,0,2) przecina prostą \(\displaystyle{ L_{2}}\) wyznaczoną przez \(\displaystyle{ a_{2}}\)=(1,1,1) i \(\displaystyle{ b_{2}}\)=(3,-3,5).
- meninio
- Użytkownik
- Posty: 1876
- Rejestracja: 3 maja 2008, o 11:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Jastrzębie Zdrój
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 467 razy
wyznaczyć prostą
\(\displaystyle{ \vec{A_{1}B_{1}}= ft[ 1,-1,0\right] L_{1}: \frac{x}{1}= \frac{y-1}{-1};z=2}\)
\(\displaystyle{ \vec{A_{2}B_{2}}= ft[ 1,-2,2\right] L_{2}: \frac{x-1}{1}= \frac{y-1}{-2}= \frac{z-1}{2}}\)
Prosta \(\displaystyle{ L_{1}}\) leży tylko na płaszczyźnie \(\displaystyle{ z=2}\), więc musimy obliczyć współrzędne punktu przecięcia sie prostej \(\displaystyle{ L_{2}}\) z płaszczyzną \(\displaystyle{ z=2}\):
\(\displaystyle{ \frac{x-1}{1}= \frac{y-1}{-2}= \frac{2-1}{2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{x-1}{1}= \frac{y-1}{-2}= \frac{1}{2} x= \frac{3}{2}, y=0}\)
Podstawiamy ten punkt do równania prostej \(\displaystyle{ L_{1}}\):
\(\displaystyle{ \frac{ \frac{3}{2} }{1} = \frac{0-1}{-1} \\ \\ \frac{3}{2} 0}\)
Otrzymaliśmy sprzeczność, czyli punkt przecięcia sie prostej \(\displaystyle{ L_{2}}\) z płaszczyzną \(\displaystyle{ z=2}\) nie należy do prostej \(\displaystyle{ L_{1}}\).
Wniosek: proste się nie przecinają, są skośne.
\(\displaystyle{ \vec{A_{2}B_{2}}= ft[ 1,-2,2\right] L_{2}: \frac{x-1}{1}= \frac{y-1}{-2}= \frac{z-1}{2}}\)
Prosta \(\displaystyle{ L_{1}}\) leży tylko na płaszczyźnie \(\displaystyle{ z=2}\), więc musimy obliczyć współrzędne punktu przecięcia sie prostej \(\displaystyle{ L_{2}}\) z płaszczyzną \(\displaystyle{ z=2}\):
\(\displaystyle{ \frac{x-1}{1}= \frac{y-1}{-2}= \frac{2-1}{2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{x-1}{1}= \frac{y-1}{-2}= \frac{1}{2} x= \frac{3}{2}, y=0}\)
Podstawiamy ten punkt do równania prostej \(\displaystyle{ L_{1}}\):
\(\displaystyle{ \frac{ \frac{3}{2} }{1} = \frac{0-1}{-1} \\ \\ \frac{3}{2} 0}\)
Otrzymaliśmy sprzeczność, czyli punkt przecięcia sie prostej \(\displaystyle{ L_{2}}\) z płaszczyzną \(\displaystyle{ z=2}\) nie należy do prostej \(\displaystyle{ L_{1}}\).
Wniosek: proste się nie przecinają, są skośne.