Napisać równanie płaszczyzny przechodzącej przez krawędź płaszczyzn \(\displaystyle{ 2x-z=0}\) i \(\displaystyle{ x+y-z+5=0}\) i prostopadłej do płaszczyzny \(\displaystyle{ 7x-y+4z-3=0}\).
Ktoś mógłby pomóc?
Równanie płaszczyzny
-
Crizz
- Użytkownik
- Posty: 4094
- Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 805 razy
Równanie płaszczyzny
Najpierw wyznaczasz sobie prostą opisaną płaszczyznowo: mamy \(\displaystyle{ 2x=z}\) oraz \(\displaystyle{ z= \frac{z}{2}+y+5}\), skąd \(\displaystyle{ z=2x=2(y+5)}\) jest szukaną prostą i wektorem tej prostej jest np. \(\displaystyle{ u=[1,1,2]}\). Ponadto wektorem normalnym płaszczyzny \(\displaystyle{ 7x-y+4z-3=0}\) jest np. \(\displaystyle{ v=[7,-1,4]}\).
Niech \(\displaystyle{ w=[x,y,z]}\) będzie wektorem normalnym szukanej płaszczyzny. Z zależności \(\displaystyle{ \vec{w} \vec{u}=0, \vec{w} \vec{v} =0}\) otrzymujemy układ:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x+y+2z=0 \\ 7x-y+4z=0 \end{cases}}\)
Wystarczy znaleźć przykładowe rozwiązanie: \(\displaystyle{ x=1,y= -\frac{4}{3},z= \frac{1}{6}}\). Równanie płaszczyzny ma zatem postac \(\displaystyle{ x -\frac{4}{3}y+ \frac{1}{6}z+C=0}\). Aby wyznaczyć C, podstaw do równania punkt \(\displaystyle{ (0,-5,0)}\) (który należy do prostej \(\displaystyle{ z=2x=2(y+5)}\)).
Niech \(\displaystyle{ w=[x,y,z]}\) będzie wektorem normalnym szukanej płaszczyzny. Z zależności \(\displaystyle{ \vec{w} \vec{u}=0, \vec{w} \vec{v} =0}\) otrzymujemy układ:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x+y+2z=0 \\ 7x-y+4z=0 \end{cases}}\)
Wystarczy znaleźć przykładowe rozwiązanie: \(\displaystyle{ x=1,y= -\frac{4}{3},z= \frac{1}{6}}\). Równanie płaszczyzny ma zatem postac \(\displaystyle{ x -\frac{4}{3}y+ \frac{1}{6}z+C=0}\). Aby wyznaczyć C, podstaw do równania punkt \(\displaystyle{ (0,-5,0)}\) (który należy do prostej \(\displaystyle{ z=2x=2(y+5)}\)).