na okregu opisano trapez .. udowodnic, ze

[kolanko]

Na okręgu o promieniu r opisano trapez, którego przekątne mają długości m i n
Udowodnij, że \(\displaystyle{ m^{2}+n^{2} qslant 16r^{2}}\)


Chodzi mi tylko o podpowiedz ale taka konkretna

[JHN]

Podpowiedź będzie chyba odpowiedzią:
1. każde z ramion jest nie mniejsze od wysokości
2. suma długości podstaw jest równa sumie długości ramion
3. pole trapezu można policzyć na dwa sposoby: ze standardowego wzoru i z wykorzystaniem przekątnych
4. \(\displaystyle{ \sin\gamma}\) kąta pomiędzy przekątnymi jest ograniczony
5. z nierówności Cauchy'ego dla kwadratowej i geometryczne po przekształceniach - teza
chociaż nie wiem, czy sam zrozumiałem to co napisałem
Pozdrawiam

[kolanko]

3. pole trapezu można policzyć na dwa sposoby: ze standardowego wzoru i z wykorzystaniem przekątnych

Jakis wzorek mi dasz ?

5. z nierówności Cauchy'ego dla kwadratowej i geometryczne po przekształceniach - teza
chociaż nie wiem, czy sam zrozumiałem to co napisałem
Pozdrawiam

co do czego bym musial zabrac ?

[JHN]

3. \(\displaystyle{ {1\over2}mn\sin\gamma={1\over2}(a+b)\cdot 2r}\)
4. \(\displaystyle{ {1\over2}mn\cdot 1\ge {1\over2}(a+b)\cdot 2r}\)
Wobec poprzednich:
\(\displaystyle{ mn\ge (a+b)\cdot 2r=(c+d)\cdot 2r\ge(2r+2r)\cdot 2r=8r^2}\)
5. Ze znanego faktu
\(\displaystyle{ \sqrt{\frac{m^2+n^2}{2}}\ge \sqrt{mn}}\)
oraz wcześniejszych mamy:
\(\displaystyle{ \sqrt{\frac{m^2+n^2}{2}}\ge \sqrt{mn}\ge \sqrt{8r^2}}\)
czyli
\(\displaystyle{ \frac{m^2+n^2}{2}\ge 8r^2}\)
co jest równoważne tezie
Pozdrawiam

[kolanko]

Dzieki sliczne