Znajdź miarę kąta pomiędzy wektorami...

Obiekty i przekształcenia geometryczne, opisane za pomocą układu (nie zawsze prostokątnego) współrzędnych.
NPS
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 63
Rejestracja: 29 maja 2007, o 21:05
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 2 razy

Znajdź miarę kąta pomiędzy wektorami...

Post autor: NPS »

Znajdź miarę kąta pomiędzy wektorami \(\displaystyle{ \vec{a}}\) i \(\displaystyle{ \vec{b}}\), jeśli wiadomo, że \(\displaystyle{ |\vec{a}|=|\vec{b}|}\) oraz, że wektory \(\displaystyle{ \vec{u}=2\vec{a}+\vec{b}}\) oraz \(\displaystyle{ \vec{v}=5\vec{b}-4\vec{a}}\) są prostopadłe.
Awatar użytkownika
Szemek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4819
Rejestracja: 10 paź 2006, o 23:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 43 razy
Pomógł: 1407 razy

Znajdź miarę kąta pomiędzy wektorami...

Post autor: Szemek »

\(\displaystyle{ \vec{u} \perp \vec{v} \iff \vec{u} \circ \vec{v} = 0 \\
\vec{u} \circ \vec{v} = 0 \\
(2\vec{a}+\vec{b}) \circ (5\vec{b}-4\vec{a}) = 0 \\
10 \cdot \vec{a} \circ \vec{b}-8|\vec{a}|^2+5|\vec{b}|^2-4 \cdot \vec{a} \circ \vec{b}=0 \qquad \to |\vec{a}|=|\vec{b}| \\
6 \cdot \vec{a} \circ \vec{b} - 3|\vec{a}|^2=0 \qquad \to |\vec{a}|=|\vec{b}| \\
6 \cdot |\vec{a}|^2 \cdot \cos (\measuredangle (\vec{a},\vec{b})) - 3|\vec{a}|^2=0}\)

Zakładam, że wektory \(\displaystyle{ \vec{a}, \vec{b}}\) nie są wektorami zerowymi.
\(\displaystyle{ 6 \cdot |\vec{a}|^2 \cdot \cos (\measuredangle (\vec{a},\vec{b})) - 3|\vec{a}|^2=0 \qquad |:3|\vec{a}|^2,|\vec{a}|>0 \\
2\cos (\measuredangle (\vec{a},\vec{b})) - 1 =0 \\
\cos (\measuredangle (\vec{a},\vec{b})) = \frac{1}{2} \\
\measuredangle (\vec{a},\vec{b}) = 60^\circ}\)
ODPOWIEDZ