Zadanie z okręgami

[wb]

Prosta k przechodzi przez środek okręgu, którego promień ma długość 2. Określ zbiór środków wszystkich okręgów stycznych do prostej k i jednocześnie stycznych wewnętrznie do danego okręgu.

[Crizz]

Obierzmy układ współrzędnych tak, by środkiem okręgu był początek układu, a prosta k pokrywała się z osią OY. Punkt \(\displaystyle{ P(x,y)}\) należy do rozważanego zbioru wtedy i tylko wtedy, gdy należy danego okręgu oraz \(\displaystyle{ |x|=2- \sqrt{x^{2}+y^{2}}}\) (łatwo to zauważyć na rysunku). Przekształcając to równanie, otrzymujemy \(\displaystyle{ y^{4}-8y^{2}-16x^{2}+16=0}\), czyli \(\displaystyle{ (y^{2}-4x-4)(y^{2}+4x-4)=0}\). Szukanym zbiorem są więc te fragmenty dwóch parabol (\(\displaystyle{ y^{2}=4x+4}\) oraz \(\displaystyle{ y^{2}=-4x+4}\)), które leżą wewnątrz koła \(\displaystyle{ x^{2}+y^{2} qslant 4}\)