równanie okręgu

[Mariannn]

Napisz równanie okr�gu stycznego do osi y w punkcie A = (0, 2) i przechodzącego przez punkt P = (4, 6).
Wyznacz na okr�gu takie punkty B i C, aby trójkąt ABC był równoboczny.

[Crizz]

Najpierw równanie okręgu: skoro jest styczny do osi OY i leży na prawo od tej osi, to ma równanie postaci \(\displaystyle{ (x-r)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}}\). Skoro przechodzi przez punkt \(\displaystyle{ (0,2)}\), to \(\displaystyle{ r^{2}+(2-b)^{2}=r^{2}}\) , skąd \(\displaystyle{ b=2}\), a ponieważ przechodzi też przez \(\displaystyle{ (4,6)}\), to (4-r)^{2}+4^{2}=r^{2}[/latex], skąd \(\displaystyle{ r=4}\), czyli równanie okręgu ma postać \(\displaystyle{ (x-4)^{2}+(y-2)^{2}=16}\).

Wiadomo, że średnica przechodząca przez punkt A będzie równoległa do osi OX, zatem proste zawierające boki \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ AC}\) będą tworzyły z osią OX kąty \(\displaystyle{ 30^{0}}\) i \(\displaystyle{ -30^{0}}\), zatem mają równania \(\displaystyle{ y-2=tg30^{0} x}\) i \(\displaystyle{ y=tg(-30^{0}) x}\), czyli inaczej \(\displaystyle{ y= \frac{ \sqrt{3} }{3} x+2}\) i \(\displaystyle{ y= -\frac{ \sqrt{3} }{3} +2}\). Wystarczy znaleźć ich punkty wspólne z okręgiem, wychodzi chyba \(\displaystyle{ B=(6,2 \sqrt{3}+2)}\), \(\displaystyle{ C=(6,2-2 \sqrt{3})}\).