Izometria

[dwdmp]

Przekszałcenie P określone jest w następujący sposób: P((x,y))=(y+2,x-1), gdzie x.y należą do R. Wykaż że przekształcenie jest izometrią. Znajdź punkt P.

[kujdak]

Wykazać to można za pomocą np. odcinka o punktach np. A(1,1), B(2;2). Jeżeli długość |AB| = |A'B'| - jest to izometria.
gdzie:
A'(3,0), B'(4;1)

korzystasz ze wzoru: \(\displaystyle{ |AB|=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}\)

[Szemek]

kujdak, dowód przeprowadza się na przypadku ogólnym - nie na przypadku szczególnym.
Może akurat dla tych dwóch konkretnych punktów przekształcenie zachowa odległość pomiędzy punktami, tzn. odległość między punktami będzie równa odległości między obrazami tych punktów.
Ale ogólnie:
Obieram dwa dowolne punkty \(\displaystyle{ A(x_a,y_a)}\) oraz \(\displaystyle{ B(x_b,y_b)}\)
\(\displaystyle{ |AB|=\sqrt{(x_b-x_a)^2+(y_b-y_a)^2}}\)
\(\displaystyle{ P[A(x_a,y_a)]=A'(y_a+2,x_a-1) \\
P[A(x_b,y_b)]=B'(y_b+2,x_b-1)}\)

\(\displaystyle{ |A'B'|=\sqrt{(y_b+2-y_a-2)^2+(x_b-1-x_a+1)^2} \\
|A'B'|=\sqrt{(y_b-y_a)^2+(x_b-x_a)^2} \\
|A'B'|=\sqrt{(x_b-x_a)^2+(y_b-y_a)^2}}\)

\(\displaystyle{ |A'B'|=|AB|}\)