Równania stycznych...

[Kajakov]

Napisać równania stycznych do wykresu funkcji \(\displaystyle{ f(x)= \frac{2x ^{2}-1 }{x}}\), z których każda razem z osiami układu współrzędnych wyznacza trójkąt o polu 1.

[Szemek]

Niech prosta \(\displaystyle{ k:y=ax+b}\) będzie styczną do wykresu \(\displaystyle{ f(x)}\), gdzie \(\displaystyle{ a\neq 0 b\neq 0}\)
Prosta \(\displaystyle{ k}\) przecina oś OX w punkcie \(\displaystyle{ (-\frac{b}{a},0)}\)
Prosta \(\displaystyle{ k}\) przecina oś OY w punkcie \(\displaystyle{ (0,b)}\)

\(\displaystyle{ P_{\Delta}=\frac{1}{2} ft| -\frac{b}{a} b \right| \\
1 = \frac{1}{2} ft| -\frac{b^2}{a} \right| \\
2 = ft| -\frac{b^2}{a} \right| \\
\frac{1}{2} = \frac{|-a|}{b^2} \\
|-a|=\frac{b^2}{2} \\
|a|=\frac{b^2}{2} \\
a=\frac{b^2}{2} a=-\frac{b^2}{2}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} y=\frac{b^2}{2}x+b \\ y=\frac{2x^2-1}{x} \end{cases} \\
\frac{b^2}{2}x+b=\frac{2x^2-1}{x} \\
\frac{2x^2-1}{x}-\frac{b^2x}{2}-b=0 \\
\frac{2(2x^2-1)-b^2x^2-2bx}{2x}=0 \\
\frac{(4-b^2)x^2-2bx-2}{2x}=0 \\
\Delta=0 \\
4b^2+8(4-b^2)=0 \\
-4b^2+32=0 \\
b^2-8=0 \\
(b+2\sqrt{2})(b-2\sqrt{2})=0 \\
b \{-2\sqrt{2},2\sqrt{2}\}}\)\(\displaystyle{ \begin{cases} y=-\frac{b^2}{2}x+b \\ y=\frac{2x^2-1}{x} \end{cases} \\
-\frac{b^2}{2}x+b=\frac{2x^2-1}{x} \\
\frac{2x^2-1}{x}+\frac{b^2x}{2}-b=0 \\
\frac{2(2x^2-1)+b^2x^2-2bx}{2x}=0 \\
\frac{(4+b^2)x^2-2bx-2}{2x}=0 \\
\Delta=0 \\
4b^2+8(4+b^2)=0 \\
12b^2+32=0 \\
3b^2+8=0 \\
b \varnothing}\)

\(\displaystyle{ a=4}\)

\(\displaystyle{ k_1:y=4x-2\sqrt{2} \qquad k_2:y=4x+2\sqrt{2}}\)

[Kajakov]

Mógłbyś mi jeszcze wytłumaczyć dlaczego delta musi być równa 0? Byłbym bardzo wdzięczny.

[Szemek]

Prosta styczna musi posiadać tylko jeden punkt wspólny z wykresem funkcji \(\displaystyle{ f(x)}\), dlatego \(\displaystyle{ \Delta=0}\)